Límite indeterminado

La expresión general de un límite es la siguiente:

límites1

Donde, lim es la manera abreviada de escribir límite, x → a se lee «cuando x tiende al valor a en la función», es decir, cuando la variable x toma valores muy cercanos al valor a y L es el resultado del límite.

En el estudio de las funciones hay puntos donde éstas tienen un comportamiento distinto o abstracto, pero en el límite de estos puntos nos encontramos con cosas que no sabemos interpretar y les llamamos indeterminaciones. Veamos cuáles son las que podemos encontrar en el límite de una función:

  1. 0 / 0 = indeterminado, no sabemos cuál resultado obtendríamos si se realizara esta operación.
  2. (± ∞) / (± ∞) = indeterminado, como no conocemos el valor de éstos números tan grandes no podremos saber con exactitud el resultado.
  3. 0 × ∞ = indeterminado, no sabemos si cero por un número en el infinito sea algún valor exacto.
  4. ∞ – ∞=indeterminado, no tenemos certeza del resultado de estos números infinitos.

Veamos algunos ejemplos:

Ejercicio 1: Obtenga el valor del siguiente límite límite indeterminado

Evaluamos el límite en cero:

límite indeterminado1

Nos encontramos con una indeterminación. Para obtener el valor del límite debemos buscar la forma de simplificarlo, en este caso, podemos hacer un cambio de variable, x = √x²:

límite indeterminado2

Ya simplificada volvemos a evaluar el límite:

límite indeterminado3

Ejercicio 2: Obtenga el valor del siguiente límite límite indeterminado4

Lo primero que haremos será evaluar el límite:

límite indeterminado5

Nos encontramos con una indeterminación, debemos buscar la forma de simplificarlo; en este caso, podemos factorizar el denominador del término sumado:

límite indeterminado6

Si sacamos el común denominador tenemos:

límite indeterminado7

Sacando factor común 2:

límite indeterminado8

Ya simplificada la expresión evaluamos de nuevo el límite:

límite indeterminado9