Límites en el infinito

La expresión general de un límite es la siguiente:

límites1  Límites en el infinito limites1 e1460569177131

Donde, lim es la manera abreviada de escribir límite, x → a se lee “cuando x tiende al valor a en la función”, es decir, cuando la variable x toma valores muy cercanos al valor a y L es el resultado del límite.

Muchas veces queremos conocer cómo se comporta una función en el infinito, en algunas ocasiones es algo complejo, hasta abstracto. Para considerar un límite de una función en el infinito tenemos que tener en cuenta una serie de reglas que nos ayudaran a facilitar las operaciones:

  1. ∞ + ∞ = ∞, un número muy grande sumado con otro, nos dará como resultado un número inmensamente grande.
  2. ∞ – ∞ = indeterminado, como no conocemos con exactitud el tamaño de los infinitos no podremos saber el resultado de esta resta, por lo tanto, es indeterminado.
  3. ± ∞ ± k = ± ∞, cualquier número sumado o restado a un número inmensamente grande (negativo o positivo), no afectará al número gigante independientemente de su signo.
  4. ± k × ± ∞ = ± ∞, partiendo de la regla de los signos de la multiplicación, podemos decir que cualquier número, excepto el cero, multiplicado por infinito será infinito.
  5. ± ∞ × ± ∞ = ± ∞, partiendo de la regla de multiplicación de signos, decimos que un número gigante por otro, será igual a otro número inmensamente grande.
  6. (± ∞) / (± ∞) = indeterminado, como no tenemos con precisión el valor de los infinitos, esta división nos da un número indeterminado.
  7. k / (± ∞) = 0, cualquier número conocido dividido por infinito será igual a cero; una analogía sería dividir una torta en un millón de personas, podemos decir que no les tocara nada a cada una de ellas.
  8. 0 × ± ∞ = indeterminado, es imposible saber si en el infinito la multiplicación por cero sea algo determinado, por ello lo tomamos como indeterminado.

Es importante saber que si en algún problema el límite nos da infinito, ese será el resultado:

Ejemplo 1: Obtenga el valor del siguiente límite límite infinito  Límites en el infinito limite infinito e1460678389193

Sustituir x = ∞  en el límite:

límite infinito1  Límites en el infinito limite infinito1 e1460678400537

Aplicando las reglas 4 y 5 tenemos:

límite infinito2  Límites en el infinito limite infinito2 e1460678465109

El resultado de este límite es – ∞.

Ahora, si tenemos un caso de indeterminación debemos buscar la manera de que obtengamos un valor, así sea ± ∞.

Ejemplo: Obtenga el valor del siguiente límite límite infinito3  Límites en el infinito limite infinito3 e1460678537645

Sustituimos x = ∞ en el límite:

límite infinito4  Límites en el infinito limite infinito4 e1460678620625

Aplicando la regla 5,4 y 1 tenemos:

límite infinito5  Límites en el infinito limite infinito5 e1460678702252

Partiendo de la regla 6:

límite infinito6  Límites en el infinito limite infinito6 e1460678640964

¿Cómo podremos resolver este límite? Buscaremos la manera de que al realizar la sustitución de x = ∞ no resulte una indeterminación; vamos a simplificar la expresión dividiendo el numerador y denominador por x²:

límite infinito7  Límites en el infinito limite infinito7 e1460678882191

Como ya simplificamos un poco la expresión, volvemos a sustituir  x = ∞ en el límite:

límite infinito8  Límites en el infinito limite infinito8 e1460678943503

Aplicando la regla 5 y 7 tenemos:

límite infinito9  Límites en el infinito limite infinito9 e1460678975751