Límites en el infinito

La expresión general de un límite es la siguiente:

límites1

Donde, lim es la manera abreviada de escribir límite, x → a se lee “cuando x tiende al valor a en la función”, es decir, cuando la variable x toma valores muy cercanos al valor a y L es el resultado del límite.

Muchas veces queremos conocer cómo se comporta una función en el infinito, en algunas ocasiones es algo complejo, hasta abstracto. Para considerar un límite de una función en el infinito tenemos que tener en cuenta una serie de reglas que nos ayudaran a facilitar las operaciones:

  1. ∞ + ∞ = ∞, un número muy grande sumado con otro, nos dará como resultado un número inmensamente grande.
  2. ∞ – ∞ = indeterminado, como no conocemos con exactitud el tamaño de los infinitos no podremos saber el resultado de esta resta, por lo tanto, es indeterminado.
  3. ± ∞ ± k = ± ∞, cualquier número sumado o restado a un número inmensamente grande (negativo o positivo), no afectará al número gigante independientemente de su signo.
  4. ± k × ± ∞ = ± ∞, partiendo de la regla de los signos de la multiplicación, podemos decir que cualquier número, excepto el cero, multiplicado por infinito será infinito.
  5. ± ∞ × ± ∞ = ± ∞, partiendo de la regla de multiplicación de signos, decimos que un número gigante por otro, será igual a otro número inmensamente grande.
  6. (± ∞) / (± ∞) = indeterminado, como no tenemos con precisión el valor de los infinitos, esta división nos da un número indeterminado.
  7. k / (± ∞) = 0, cualquier número conocido dividido por infinito será igual a cero; una analogía sería dividir una torta en un millón de personas, podemos decir que no les tocara nada a cada una de ellas.
  8. 0 × ± ∞ = indeterminado, es imposible saber si en el infinito la multiplicación por cero sea algo determinado, por ello lo tomamos como indeterminado.

Es importante saber que si en algún problema el límite nos da infinito, ese será el resultado:

Ejemplo 1: Obtenga el valor del siguiente límite límite infinito

Sustituir x = ∞  en el límite:

límite infinito1

Aplicando las reglas 4 y 5 tenemos:

límite infinito2

El resultado de este límite es – ∞.

Ahora, si tenemos un caso de indeterminación debemos buscar la manera de que obtengamos un valor, así sea ± ∞.

Ejemplo: Obtenga el valor del siguiente límite límite infinito3

Sustituimos x = ∞ en el límite:

límite infinito4

Aplicando la regla 5,4 y 1 tenemos:

límite infinito5

Partiendo de la regla 6:

límite infinito6

¿Cómo podremos resolver este límite? Buscaremos la manera de que al realizar la sustitución de x = ∞ no resulte una indeterminación; vamos a simplificar la expresión dividiendo el numerador y denominador por x²:

límite infinito7

Como ya simplificamos un poco la expresión, volvemos a sustituir  x = ∞ en el límite:

límite infinito8

Aplicando la regla 5 y 7 tenemos:

límite infinito9