Ley del Coseno – Demostración y Ejemplos

En algunas ocasiones al resolver un ejercicio de trigonometría no podemos utilizar el teorema del seno, sobre todo si solo tenemos los valores del ángulo y sus dos lados adyacentes. ¿Qué podemos hacer? El teorema del coseno (o ley del coseno) es útil para estos casos.

Tabla de contenidos

¿Qué es la ley del coseno?

El teorema del coseno relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos, y con el coseno del ángulo formado por estos últimos:

Dado un triángulo cualquiera, siendo “A”, “B”, “C” sus ángulos y a, b, c sus lados (opuestos a dichos ángulos), entonces:

$\LARGE \mathbf{c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}$

Demostración del teorema del coseno

Si observamos la figura superior tenemos que A, B, C, son los ángulos y a, b, c, los lados opuestos a cada uno de ellos. Para poder demostrar el teorema, debemos dividir este triángulo en dos triángulos rectángulos.

Veamos que la línea que los divide es “h” y “u” es el lado que se forma entre c y h.

Si aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo de la izquierda, tenemos:

$\large c^{2}+h^{2}+u^{2} \hspace{2em}(1)$

Repitiendo el procedimiento en el de la derecha:

$\large a^{2}=h^{2}+(b-u)^{2} \hspace{2em}(2)$

Despejamos h² de la ecuación (1) y el resultado lo sustituimos en (2), tenemos:

$\large \begin{align*}&a^{2}=c^{2}-u^{2}+(b-u)(b-u)\\\medskip &a^{2}=c^{2}-u^{2}+(b-u)^{2} \end{align*}$

Recordando que (a – b)² = a² – 2ab + b²:

$\large \begin{align*}&a^{2}=c^{2}-u^{2}+b^{2}-2bu+u^{2}\\\medskip &a^{2}=c^{2}+b^{2}-2bu\hspace{2em}(3) \end{align*}$

Del triángulo izquierdo tenemos que:

$\large \cos A=\frac{u}{c}$

Despejando y sustituyendo en la ecuación (3), obtenemos:

$\large \begin{align*}&u=c\cos A\\\medskip &a^{2}=c^{2}+b^{2}-2b(c\cos A) \end{align*}$

$\large \mathbf{a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A}$

que es lo que queríamos demostrar.

Dependiendo de los lados y ángulo que tengamos, podemos repetir el procedimiento y demostrar de igual forma la fórmula de la ley del coseno:

$\large \begin{align*}&\mathbf{b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B}\\\medskip &\mathbf{c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}\end{align*}$

Ejercicios de la ley del coseno

En la figura adjunta se cumple: b=84cm; c=52cm y A=72º. Calcular el valor de a.

En este caso no podemos aplicar el teorema del coseno porque no conocemos un lado y su ángulo opuesto. En consecuencia, aplicamos la ley de coseno.

$\large \begin{align*}&a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot cos A=\\\medskip &a^{2}=84^{2}+52^{2}-2(84)(52)\cdot cos 72^{\circ}=\\\medskip &a^{2}=7056+2704-(8736)(0,30901)=7060,49\\\medskip &a=\sqrt{7060,49}=84,03cm\\\medskip &a=84,03cm\end{align*}$

En la figura adjunta se cumple: a=50cm; b=84cm y c=116cm. Calcular el valor de B.

Procedemos como en el ejercicio anterior:

$\large \begin{align*}&b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B\\\medskip &\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=\\\medskip &\cos B=\frac{50^{2}+116^{2}-84^{2}}{2(50)(116)}=\\\medskip &\cos B=\frac{8900}{11600}=0,767241379=\\\medskip &B=39,89^{\circ}\end{align*}$

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