Identidades trigonométricas

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que involucran funciones trigonométricas y que es verdadera para todos los valores de la variable (o ángulo) en los que están definidas. A partir del teorema de Pitágoras podemos derivar las identidades fundamentales o básicas y a partir de éstas otras, generalmente denominadas auxiliares.

Identidades trigonométricas fundamentales

Relación seno – coseno

cos² α + sen² α = 1

Relación secante – tangente

sec² α = 1 + tg² α

Relación cosecante – cotangente

csc²  α = 1 + ctg² α

Identidades trigonométricas recíprocas

Cosecante

csc α = 1 / sen α

Secante

sec α = 1 / cos α

Cotangente

ctg α = 1 / tg α

Identidades trigonométricas del ángulo doble

sen 2α = 2 sen · α cos α

Cos 2α = cos²  α – sen²  α

tg 2α = 2tg  α / (1 – tg²  α)

Identidades trigonométricas del ángulo mitad

sen (α / 2) = ± √[(1 – cos α) / 2]

cos (α / 2) = ± √[(1 + cos α) / 2]

tg (α / 2) = ± √[(1 – cos α) / (1 + cos α)]

Identidades de transformación de operaciones

 Paso de suma a producto

sen α + sen β = 2 sen [(α + β) / 2] cos [(α – β) / 2]

sen α – sen β = 2 cos [(α + β) / 2] sen [(α – β) / 2]

cos α + cos β = 2 cos [(α + β) / 2] cos [(α – β) / 2]

cos α – cos β = – 2 sen [(α + β) / 2] sen [(α – β) / 2]

Paso de producto a suma

sen α · cos β = 1/2 [sen (α + β) + cos (α – β)]

cos α · sen β = 1/2 [cos (α + β) + cos (α – β)]

cos α · cos β = 1/2 [cos (α + β) + cos (α – β) ]

sen α · sen β = – 1/2 [sen (α + β) – cos (α – β)]

Demostración

Para poder realizar la demostración de las identidades trigonométricas partiremos de un triángulo rectángulo como se muestra la siguiente figura:

Identidades fundamentales

Si tomamos el ángulo α como referencia, el lado “a” (AC) será el cateto opuesto, “b” (AC) el cateto adyacente o contiguo y  h (AB, que es el lado más grande de los tres) la hipotenusa.

Considerando lo anterior y aplicando el teorema de Pitágoras, podemos decir lo siguiente:

En todo triangulo rectángulo, la suma de la longitud  de su lado “a” (cateto opuesto) elevado al cuadrado, más la longitud del lado “b” (cateto adyacente) elevado al cuadrado, debe dar como resultado el lado h (hipotenusa) elevado al cuadrado.

Es decir:

h² = a² + b²             (1)

Primera identidad fundamental

Primero, debemos llevar al teorema de Pitágoras (1) al valor de 1, ¿cómo? Dividiendo ambos lados de la igualdad entre h²:

h² / h² = (a² + b²) / h²

1 = a²/h²  + b²/h²             (2)

Si ahora consideramos los siguientes cocientes relacionados por los lados de un triángulo rectángulo:

sen α = a / h = cateto opuesto / hipotenusa             (3)

cos α = b / h = cateto adyacente / hipotenusa          (4)

Y los sustituimos en la ecuación (2) tendremos nuestra primera identidad trigonométrica:

1 = sen² α + cos² α             (5)

Segunda identidad fundamental

Al dividir la primera identidad (5)  entre cos² α, tenemos:

(1 / cos² α ) = (sen² α + cos² α) / cos² α

 (1 / cos² α ) = (sen² α / cos² α) + (cos² α / cos² α)

Recordando que tag α = (sen α / cos α) y sec α = (1 / cos α), obtenemos:

sec² α  = tag² α + 1            (6)

Tercera identidad fundamental

Considerando que csc α = (1 / senα) y  ctg α = (cos α / sen α) y dividiendo la primera identidad (5)  entre sen² α, tenemos:

 (1 / sen² α ) = (sen² α + cos² α) / sen² α

 (1 / sen² α ) = (sen² α / sen² α) + (cos² α / sen² α)

csc² α  = 1 + ctg² α             (7)

En general, de la primera identidad fundamental (5) y  efectuando sencillas operaciones, podemos encontrar unas ¡24 identidades más! ¡Recordemos que todo esto partió de un triángulo rectángulo!