Funciones trigonométricas inversas

La única forma de que una función cualquiera tenga función inversa, es que esa función sea inyectiva, es decir, una función en la que a cada valor de su conjunto X (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto Y (codominio) de f, en otras palabras, una función f es inyectiva si se cumple: f(x) = f(y)x = y. Para comprobar graficamente lo anterior, trazamos líneas rectas horizontales sobre la función y observamos si éstas atraviesan un único punto de la función. La siguiente función es inyectiva:

funcion inyectiva

En cambio, sí ocurre lo siguiente:

funcion noinyectiva

Observemos que las líneas horizontales azules atraviesan en más de un punto la función (línea roja), por lo tanto, ésta no es inyectiva, es decir, no tiene función inversa.

Funciones inversas: cosecante, secante y cotangente

Veamos las funciones trigonométricas:

  • y = sin x

funcion seno

  • y = cos x

funcion coseno

  • y = tan x

funcion tangente

Si trazáramos líneas horizontales sobre cada una de estas funciones nos daremos cuenta que estas no son inyectivas, por lo tanto, no tienen inversa. Sin embargo, podemos “obligarlas” a que las tengan restringiendo su dominio y así verlas como una sola función.

Ejemplo: Restrinjamos el dominio de sin(x)  a [-π/2, π/2] y dejemos su rango igual [-1, 1]. Ahora, algebraicamente hablar de la inversa del seno es hablar del arco-seno de la variable, es decir:

  • y = sin x
  • arc sin(y) = x

El valor del dominio de sin(x) es ahora el rango del arc sin(y) y el valor del rango es el valor del dominio del arc sin(y):

funciones inversas seno
Función seno f(x) = sen (x) y cosecante f(x) = csc (x) = 1 / sen (x)

Lo mismo pasa con el cos(x), restringimos su dominio a [0 ,π]  y dejamos igual su rango [-1, 1]. Algebraicamente hablar de la inversa de coseno es hablar del arco-coseno de la variable, es decir:

  • y = cos x
  • arc cos (y) = x

El valor del dominio de cos (x) es ahora el rango del arc cos (y) y el valor del rango es el valor del dominio del arc cos (y):

funciones inversas coseno
Función coseno f(x) = cos (x) y función secante f(x) = sec (x) = 1 / cos (x)

Con la tan(x), donde su dominio va de  [-π/2  , π/2 ] y su rango de [-∞, ∞]. Algebraicamente hablar de la inversa de tangente es hablar del arco-tangente de la variable, es decir:

  • y = tg x
  • arc tg (y) = x

El valor del dominio de tg( x) es ahora el rango del arc tan (y) y el valor del rango es el valor del dominio del arc tan (y):

funciones inversas tangente
Función tangente tg (x) = sen (x) / cos (x) y función cotangente f(x) = ctg (x) = 1 / tg (x)