Ley de la Tangente – Demostración y Ejemplos

La ley de la tangente o teorema de la tangente indica la relación entre la suma y la diferencia de dos lados de un triángulo con las tangentes de la mitad de la suma y diferencia de los ángulos opuestos a dichos lados.

¿Qué es la ley de la tangente




Si a y b son dos lados de un triángulo y sus ángulos opuestos son A y B, de acuerdo a la ley de las tangentes se cumple que:

\LARGE \mathbf{\frac{(a-b)}{(a+b)}=\frac{\tan \frac{A-B}{2}}{\tan \frac{A+B}{2}}}

Así mismo, para los otros lados:

\large \mathbf{{\frac{(c-a)}{(c+a)}=\frac{\tan \frac{C-A}{2}}{\tan \frac{C+A}{2}}}}

\large \mathbf{\frac{(b-c)}{(b+c)}=\frac{\tan \frac{B-C}{2}}{\tan \frac{B+C}{2}}}

Ejemplo de la ley de la tangente

Si en un triángulo ABC, ∠A = 90°, ∠B = 30°; Si el lado opuesto a ∠A es 5 cm, encuentre el valor del lado opuesto a ∠B.

De la ley de las tangentes tenemos:

\large \begin{align*} \frac{5-b}{5+b}&=\frac{\tan \frac{90-30}{2}}{\tan \frac{90+30}{2}}=\\\bigskip &=\frac{\tan \frac{60}{2}}{\tan \frac{120}{2}}=\\\bigskip &=\frac{\tan 30}{\tan 60}=\\\bigskip &=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{3}}=\\\bigskip &= \frac{1}{3}\end{align*}

Despejando b:\large \begin{align*} \frac{5-b}{5+b}&=\frac{1}{3}\\\medskip 3\left (5-b \right )&=5+b\\\medskip 15-3b&=5+b\\\medskip -3b-b&=5-15\\\medskip -4b&=-15\\\medskip b&=\frac{10}{4}\\\medskip b&=2,5cm\end{align*}

Demostración del teorema de la tangente

De acuerdo a la ley del seno tenemos que:

\large \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}

Utilizando la primera y segunda relación:

\large \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=k

Entonces:

\large \begin{align*}&a=k\cdot \sin A\hspace{1em}y\hspace{1em}b=k\cdot \sin B\\\medskip &a-b=k\cdot \sin A-k\cdot \sin B)=\\\medskip &a-b=k\left ( \sin A-\sin B\right )\end{align*}

y

\large a+b=k\left ( \sin A+\sin B \right )

Por lo tanto:

\large \frac{a-b}{a+b}=\frac{\sin A-\sin B}{\sin A+\sin B}

Ahora, usando la identidad trigonométrica, la fórmula de transformaciones de sumas a productos para el seno específicamente :

\large \sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cdot \cos \frac{A-B}{2}

Y

\large \sin A-\sin B=2\cos \frac{A+B}{2}\cdot \sin \frac{A-B}{2}

Obtenemos:

\large \begin{align*} &\frac{a-b}{a+b}=\frac{2\cos\frac{A+B}{2}\cdot \sin\frac{A-B}{2} }{2\sin \frac{A+B}{2}\cdot \cos\frac{A-B}{2}}=\\\bigskip &\frac{a-b}{a+b}=\frac{\cos \frac{A+B}{2}\cdot \sin\frac{A-B}{2} }{\sin \frac{A+B}{2}\cdot \cos\frac{A-B}{2}}=\\\bigskip &\frac{a-b}{a+b}=\frac{\cos \frac{A+B}{2}}{\cos\frac{A+B}{2} }\cdot \frac{\sin\frac{A-B}{2}}{\cos\frac{A-B}{2}}=\\\bigskip &\mathbf{\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan \frac{A-B}{2}}{\tan\frac{A+B}{2}}}\end{align*}

De forma análoga (utilizando las otras relaciones de la ley del seno), se pueden comprobar las ley de la tangente para los lados restantes.

Ejercicios de la ley de la tangente

1. Del siguiente triángulo determine el valor de A, B y c, sabiendo que a = 34cm,  b = 22cm,  C = 42o .

ley de la tangente - ejercicio

Aplicando la propiedad de que en cualquier triángulo la suma de sus ángulos internos vale 180°, tenemos que:

\large \begin{align*} A+B+C&=180^{\circ} \\\medskip A+B&=180\\\medskip A+B&=180^{\circ} -C\\\medskip A+B&=180^{\circ}-42^{\circ}\\\medskip A+B&=138^{\circ} \end{align*}

Por lo tanto:

\large \begin{align*} \frac{A+B}{2}&=\frac{138^{\circ} }{2}=\\\medskip \frac{A+B}{2}&=69^{\circ}\hspace{4em}(1) \end{align*}

Ahora, de la ley de la tangente tenemos:

\large \begin{align*} \frac{a-b}{a+b}&=\frac{\tan \frac{A-B}{2}}{\tan \frac{A-B}{2}}\\\medskip \frac{34-22}{34+22}&=\frac{\tan \frac{A-B}{2}}{\tan 69^{\circ}}\\\medskip \frac{12}{56}&=\frac{\tan \frac{A-B}{2}}{\tan 69^{\circ}}\\\medskip \end{align*}

Despejando (A-B)/2, tenemos:

\large \begin{align*} \tan \frac{A-B}{2}&=\frac{12\cdot \tan 69^{\circ}}{56}=\\\medskip \tan \frac{A-B}{2}&=0,55823337=\\\medskip \frac{A-B}{2}&=29,17^{\circ}\hspace{4em}(2)\end{align*}

Despejando A de la ecuación (2):

\large A=2\left (29,17^{\circ} \right )+B\hspace{2em}(3)

Y sustituyendo en (1), obtenemos:\large \begin{align*} \frac{2\left (29,17^{\circ} \right )+B+B}{2}&=69^{\circ}\\\medskip \frac{2\left (29,17^{\circ} \right )+2B}{2}&=69^{\circ}\\\medskip 29,17^{\circ}+B&=69^{\circ}\\\medskip B&=69{\circ}-29,17^{\circ}\\\medskip B&=39,83^{\circ}\end{align*}

Y sustituyendo este valor en (3):\large \begin{align*} A&=2(29,17^{\circ}+39,83^{\circ} )\\\medskip A&=98,17^{\circ}\end{align*}

Para calcular el valor de c aplicamos la ley del seno:

\large \begin{align*} &\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}\\\medskip c&=\frac{a\cdot \sin C}{\sin A}\\\medskip c&=\frac{\left (34 \cdot \sin 42^{\circ}\right )}{\sin 98,17^{\circ} }\\\medskip c&=22,98cm\end{align*}

Puedes comprobar el resultado aplicando la ley del coseno y el teorema del seno.

2. Con los datos de la figura, determina el valor de:

\large \tan \frac{B-C}{2}\cdot \sqrt{\frac{65}{19}}

Teorema de la tangente

Aplicando la propiedad de que en cualquier triángulo la suma de sus ángulos internos vale 180°, tenemos que:

\large \begin{align*} A+B+C&=180^{\circ}\\\medskip B+C&=180^{\circ}-A\\\medskip \frac{B+C}{2}&=\frac{180^{\circ}-A}{2}\\\medskip \frac{B+C}{2}&=90^{\circ}-\frac{A}{2} \end{align*}

De la ley de la tangente tenemos:

\large \begin{align*} \frac{7-3}{7+3}&=\frac{\tan \frac{B-C}{2}}{\tan \frac{B+C}{2}}\\\medskip \tan \frac{B+C}{2}&=\frac{10\cdot\tan \frac{B-C}{2}}{4}\\\medskip \tan \frac{B+C}{2}&=\frac{5}{2}\cdot\tan \frac{B-C}{2}\end{align*}Como,\frac{B+C}{2}=90^{\circ}-\frac{A}{2}Sustituimos en la expresión anterior:

\large \begin{align*}\tan \frac{B+C}{2}&=\frac{5}{2}\cdot\tan \left (90^{\circ} -\frac{A}{2} \right )\\\medskip \tan \frac{B+C}{2}&=\frac{5}{2}\cdot\tan \left (90^{\circ} -\frac{A}{2} \right ) \end{align*} Considerando la fórmula:

\tan \left (90^{\circ} -\alpha \right )= \cot \alpha

Tenemos en la expresión anterior que:

\large \tan \frac{B+C}{2}=\frac{5}{2}\cdot\cot \frac{A}{2} \hspace{2em}(1)

Ahora, de la ley del coseno tenemos:

\large \begin{align*} a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A\\\medskip 9^{2}&=7^{2}+3^{2}-2(7)(3)\cos A\\\medskip 81&=58-42\cos A\\\medskip \cos A&=\frac{58-81}{42}\\\medskip \cos A&=-\frac{23}{42}\\\medskip \end{align*}

De la razón trigonométrica de A/2 en función de cos A:

\tan \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}

Tenemos:

\large \begin{align*} \tan \frac{A}{2}&=\sqrt{\frac{1+\frac{23}{42}}{1-\frac{23}{42}}}\\\medskip \tan \frac{A}{2}&=\sqrt{\frac{65}{19}}\\\medskip \end{align*}

Como:

\cot A=\frac{1}{\tan A}

Se tiene:

\large \begin{align*}\cot \frac{A}{2}&=\frac{1}{\tan\frac{A}{2} }\\\medskip \cot \frac{A}{2}&=\sqrt{\frac{19}{65}}\hspace{2em}(2) \end{align*}

Ahora de la ecuación (1) y (2), tenemos:

\large \begin{align*}\tan \frac{B-C}{2}\cdot \sqrt{\frac{65}{19}}&=\frac{2}{5}\cdot \cot \frac{A}{2}\cdot \sqrt{\frac{65}{19}}\\\medskip &=\frac{2}{5}\cdot \sqrt{\frac{19}{65}}\cdot \sqrt{\frac{65}{19}}\\\medskip &=\frac{2}{5} \end{align*}

En consecuencia:

\large \tan \frac{B-C}{2}\cdot \sqrt{\frac{65}{19}}=\frac{2}{5}

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