Ecuaciones trigonométricas

En una ecuación trigonométrica intervienen funciones trigonométricas, de manera que las incógnitas (o variables) forman parte de los argumentos de dichas funciones. Debido a que las incógnitas son ángulos, al hallar una solución, están serán infinitas, sin embargo, con expresarlas en uno o en dos cuadrantes será suficiente, ya que éstas se repiten en todas las vueltas.

Resolución de ecuaciones trigonométricas

No existe un método general para resolverlas, pero, podemos aplicar los siguientes pasos:

1. Realizamos las transformaciones necesarias para trabajar con una sola función trigonométrica (seno, coseno), haciendo uso de las identidades trigonométricas fundamentales y recíprocas (o inversas):

• cos² α + sen² α = 1
• sec² α = 1 + tg² α
• csc²  α = 1 + ctg² α
• csc α = 1 / sen α
• sec α = 1 / cos α
• ctg α = 1 / tg α

2. Aplicamos los pasos utilizados comúnmente en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la función.
3. Resolvemos la parte trigonométrica, es decir, determinamos el valor del ángulo que deseamos hallar.

Ejemplos

1. tan² (α) + csc² (α) – 3 = 0.

Expresamos la ecuación en términos de senos y cosenos:

tg² (α) + csc² (α) – 3 = 0

[sin² (α) / cos² (α)] + [1 / sin² (α)] = 3

Sumamos:

[sin⁴ (α) + cos² (α)] / {[cos² (α)][sin² (α)]} = 3

sin⁴ (α) + cos² (α) = 3·cos² (α)·sin² (α)

Usando la relación seno – coseno “cos² (α) + sen² (α) = 1” expresamos todos los cosenos en senos:

sin⁴ (α) + [1 – sin²(α)] = 3·[1 – sin² (α)]·sin² (α)

sin⁴  (α) + 1 – sin²(α) = 3 sin² (α) – 3sin⁴ (α)

sin⁴  (α) + 1 – sin²(α) – 3 sin² (α) + 3sin⁴ (α) = 0

Sumamos términos semejantes

4 sin⁴  (α) + 4 sin²(α) + 1 = 0

Factorizamos

[2sin² (α) – 1 ][2sin² (α) – 1] = 0

[2sin² (α) – 1 ]² = 0

√[2sin² (α) – 1 ]² = 0

2sin² (α) – 1 = 0

2sin² (α) = 1

sin² (α) = 1/2

sin (α) = √(1/2)

Al racionalizar el denominador

sin (α) = √(1/2)·[√(1/2 / √(1/2] = √2 / 2

Esto es el sin (45°) es decir que la solución a esta ecuación son todos relacionados con π/4, es decir: los valores solución que puede tomar α son  π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

2. – 3 sin (α) + cos² (α) = 3

Expresamos la ecuación en término de senos, utilizando la relación seno – coseno “cos² (α) + sen² (α) = 1”:

– 3 sin (α) + cos² (α) = 3

– 3 sin (α) + [1 – sin² (α)] = 3

– sin² (α) – 3 sin² (α) – 2 = 0

Vemos que la expresión anterior tiene la forma de una ecuación de segundo grado, donde la incógnita es  sin(α), a = -1, b= – 3 y c = -2. Por lo tanto:

sin (α) = {- (-3) ± √ [(-3)² – 4(-1)(-2)]} / 2(-1) = 3 ± √ (9 – 8)] / -2 = – (3 ± 1) / 2

sin (α)₁ = -2 y sin (α)₂ = -1

Como el rango de la función seno no puede ser más grande que 1, nuestra solución es  sin(α) = -1, que corresponde a α = 270 ⁰, es decir,  α = 3π/2.