Resolución de ecuaciones trigonométricas
No existe un método general para resolverlas, pero, podemos aplicar los siguientes pasos:
- Realizamos las transformaciones necesarias para trabajar con una sola función trigonométrica (seno, coseno), haciendo uso de las identidades trigonométricas fundamentales y recíprocas (o inversas):
- cos² α + sen² α = 1
- sec² α = 1 + tg² α
- csc² α = 1 + ctg² α
- csc α = 1 / sen α
- sec α = 1 / cos α
- ctg α = 1 / tg α
- Aplicamos los pasos utilizados comúnmente en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la función.
- Resolvemos la parte trigonométrica, es decir, determinamos el valor del ángulo que deseamos hallar.
Ejemplos
1. tan² (α) + csc² (α) – 3 = 0.
APOYA NUESTRO TRABAJO HACIENDO CLIC EN LOS ANUNCIANTES |
Expresamos la ecuación en términos de senos y cosenos:
tg² (α) + csc² (α) – 3 = 0
[sin² (α) / cos² (α)] + [1 / sin² (α)] = 3
Sumamos:
[sin4 (α) + cos² (α)] / {[cos² (α)][sin² (α)]} = 3
sin4 (α) + cos² (α) = 3·cos² (α)·sin² (α)
Usando la relación seno – coseno “cos² (α) + sen² (α) = 1” expresamos todos los cosenos en senos:
sin4 (α) + [1 – sin²(α)] = 3·[1 – sin² (α)]·sin² (α)
sin4 (α) + 1 – sin²(α) = 3 sin² (α) – 3sin4 (α)
sin4 (α) + 1 – sin²(α) – 3 sin² (α) + 3sin4 (α) = 0
Sumamos términos semejantes
4 sin4 (α) + 4 sin²(α) + 1 = 0
Factorizamos
[2sin² (α) – 1 ][2sin² (α) – 1] = 0
[2sin² (α) – 1 ]² = 0
√[2sin² (α) – 1 ]² = 0
2sin² (α) – 1 = 0
2sin² (α) = 1
sin² (α) = 1/2
sin (α) = √(1/2)
Al racionalizar el denominador
sin (α) = √(1/2)·[√(1/2 / √(1/2] = √2 / 2
Esto es el sin (45°) es decir que la solución a esta ecuación son todos relacionados con π/4, es decir: los valores solución que puede tomar α son π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.
2. – 3 sin (α) + cos² (α) = 3
Expresamos la ecuación en término de senos, utilizando la relación seno – coseno “cos² (α) + sen² (α) = 1”:
– 3 sin (α) + cos² (α) = 3
– 3 sin (α) + [1 – sin² (α)] = 3
– sin² (α) – 3 sin² (α) – 2 = 0
Vemos que la expresión anterior tiene la forma de una ecuación de segundo grado, donde la incógnita es sin(α), a = -1, b= – 3 y c = -2. Por lo tanto:
sin (α) = {- (-3) ± √ [(-3)² – 4(-1)(-2)]} / 2(-1) = 3 ± √ (9 – 8)] / -2 = – (3 ± 1) / 2
sin (α)1 = -2 y sin (α)2 = -1
Como el rango de la función seno no puede ser más grande que 1, nuestra solución es sin(α) = -1, que corresponde a α = 270 ⁰, es decir, α = 3π/2.