Inecuaciones lineales con dos variables

Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y qué sólo se verifica para determinados valores de las incógnitas. Una inecuación lineal (o de primer grado) involucra solamente sumas y restas de las variables a la primera potencia, como puede ser:

ax + by ≥ c

Con a, b y c constantes y  a ≠ 0; b ≠ 0;   x e y incógnitas. Esta expresión es una inecuación lineal con dos variables.

Resolución de inecuaciones lineales con dos variables

Llamaremos sistema de inecuaciones lineales, al conjunto de valores que satisfagan (o verifiquen) las inecuaciones. ¿Cómo resolvemos este tipo de sistemas? Debemos hallar todos los pares de valores de x e y para los cuales se cumple la desigualdad. Su solución es uno de los semiplanos que resulta de representar la ecuación resultante, que se obtiene al transformar la desigualdad en una igualdad.

  1. Transformamos las inecuaciones en una igualdad.
  2. Graficamos las rectas por separado.
  3. Tomamos un punto al azar que satisfaga cada inecuación. Por ejemplo tomamos el punto (0,0) y los sustituimos en ellas; si ésta se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de desigualdades:

4x – 2y ≥ 4

x + y ≤ 1

x > – 2

  • Primera inecuación: 4x – 2y ≥ 4

Paso 1: la transformamos en una igualdad:

4x – 2y = 4

Paso 2: graficamos la recta:

4x – 2y = 4   ”   y = 2(x – 1).

Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos:

Cuando x = 0;  y = 2(0 – 1) = – 2

Cuando x = 1;  y = 2(1 – 1) = 0

Al representar y unir estos dos puntos (0, -2) y (1,0),  obtenemos una recta:

grafico1

Paso 3: tomamos un punto al azar que satisfaga la inecuación. Por ejemplo tomamos el punto (0,0) y los sustituimos en la desigualdad; si ésta se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano:

4x – 2y ≥ 4

4(0) – 2(0) ≥  4

0  ≥  4  ¡No se cumple la desigualdad!

Por lo tanto, los puntos del semiplano 2 forman parte de la solución, es decir:

grafico2

  • Segunda inecuación: x + y ≤ 1

Paso 1: la transformamos en una igualdad:

x + y = 1

Paso 2: graficamos la recta:

x + y = 1   ”   y = 1 – x.

Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos:

Cuando x = 0;  y = 1

Cuando x = 1;  y = 0

Al representar y unir estos dos puntos (0, 1) y (1,0),  obtenemos una recta:

grafico3

Paso 3: tomamos un punto al azar que satisfaga la inecuación. Por ejemplo tomamos el punto (0,0):

x + y ≤ 1

0 + 0 ≤  1

0 ≤  ¡No se cumple la desigualdad!

Por lo tanto, los puntos del semiplano 2 forman parte de la solución, es decir:

grafico4

  • Tercera inecuación: x > – 2

Paso 1: la transformamos en una igualdad:

x = – 2

Paso 2: graficamos la recta:

grafico5

Paso 3: Como x > – 2, el semiplano 2 formará parte de la solución, es decir:

grafico6

Ahora, la solución general serán todos los puntos en el plano donde se satisfacen las tres desigualdades, es decir, la intersección de los tres planos solución:

grafico7