Gráficos

graficosUn gráfico nos da una representación visual de la relación entre dos variables en una ecuación, por ello nos proporciona un método con el que podemos resolverlas (generalmente de forma más sencilla que el método algebraico).

Representación gráfica de ecuaciones lineales

Una ecuación lineal es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas en las que aparecen elementos conocidos y desconocidos (denominados variables), y que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.

La gráfica de una ecuación lineal con dos variables es una. Una forma común de estas ecuaciones es: . Donde  es la pendiente y  el punto donde la recta corta al eje  Para representar la gráfica de una ecuación lineal con dos variables usamos el sistema de coordenadas cartesianas, el cual consiste en dos rectas numéricas: una horizontal (llamada  y una recta vertical (llamada ); ambas se interceptan en el origen.

Ejemplo: Representar la siguiente ecuación lineal con dos variables: y = 2x + 3

GráficosPara representar, damos a una de las dos variables dos valores, con los que obtenemos dos puntos:

Cuando x = 0; y = 2(0) + 3 = 3: P(0,3)

Cuando x = 1; y = 2(1) + 3 = 5:  Q(1,5)

Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

Representación gráfica de ecuaciones cuadráticas

Una ecuación cuadrática o de segundo grado es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2. Así, ax2 + bx + c = 0 es una ecuación de segundo grado. La representación gráfica de esta ecuación es una curva llamada parábola.

Características de la parábola

Cuando a > 0:

  • La parábola se abre hacia arriba y decimos que es cóncava hacia arriba.
  • La parábola siempre tiene un valor de f(x) = y que es mínimo
  • La parábola es estrictamente decreciente desde -∞ hasta la abscisa del vértice de la parábola (la cual se calcula con la siguiente formula: x = – b/2a
  • Y es estrictamente creciente y desde la abscisa del vértice hasta +∞.
  • La parábola siempre corta al eje en el punto c y puede cortar al eje x en dos puntos x1 y x2, en un punto x1 = x2 o en ningún punto, pues estos representan a las raíces de la ecuación.

Cuando a < 0:

  • La parábola se abre hacia abajo y decimos que es cóncava hacia abajo.
  • La parábola siempre tiene un valor de f(x) = y que es máximo.
  • La parábola es estrictamente creciente desde -∞ hasta la absisa del vértice de la parábola
  • Y es estrictamente decreciente y desde la abscisa del vértice hasta +∞.
  • La parábola siempre corta al eje y en el punto c y puede cortar al eje x en dos puntos x1 y x2, en un punto x1 = x2 o en ningún punto, pues estos representan a las raíces de la ecuación.

Ejemplo: Representar gráficamente la siguiente función cuadrática: x2 – 12x + 36 = 0


Representación gráfica:

  • Gráficos2Como a > 0 ” a = 1, la parábola es cóncava hacia arriba y tiene un punto mínimo.
  • La abscisa del vértice es:

x = – 12 / 2(1) = 6

  • La parábola es estrictamente decreciente desde -∞ hasta la abscisa del vértice y es estrictamente creciente desde la abscisa del vértice hasta + ∞.
  • Los puntos de intersección son (que corresponde a las raíces de la ecuación): x1 = x2 = 6; c = 3.

Solución: x2 – 12x + 36 = (x – 6)(x – 6)

Representación gráfica de inecuaciones

A través de la representación gráfica de las inecuaciones podemos encontrar las soluciones de las mismas (método gráfico).

Ejemplo: Resolver la siguiente inecuación: 2x + y ≤ 1

  • Transformar la desigualdad en una igualdad: 2x + y =1
  • Graficar la recta 2x + y =1 ” y = – 2x +1

Para ellos, damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos:

Cuando x = 0; y =1

Cuando x = 1; y = – 1

  • Al representar y unir estos dos puntos (0, 1) y (1, -1), obtenemos una recta

Gráficos3Tomar un punto al azar que satisfaga la inecuación. Por ejemplo tomamos el punto (0, 0) y los sustituimos en la desigualdad; si ésta se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.

2x + y ≤ 1

2(0) + 0 ≤ 1

0 ≤ 1 ¡No se cumple la desigualdad!

Por lo tanto, los puntos del semiplano 2 forman parte de la solución.