Magnitud de un vector

módulo vectorUn vector es un segmento de recta orientado mediante una punta de flecha dibujada en uno de sus extremos:

vector

El punto A se le llama origen y el punto de la flecha (B) se llama extremo del vector.

Un vector representa la magnitud y orientación de una cantidad física, por lo tanto, tiene una longitud (un número real no negativo), así como dirección (u orientación). La longitud del vector se le denomina magnitud o módulo.

Definición de magnitud de un vector

La magnitud o módulo de un vector es la distancia entre el punto inicial  y el punto final . En símbolos la magnitud del vector AB se define como |AB|.

magnitud vector

La magnitud o módulo es la longitud proporcional al valor del vector.

Cálculo de la magnitud de un vector

magnitud vector2Para calcular la magnitud o módulo de un vector A = (Ax, Ay), conociendo sus coordenadas, se utiliza la siguiente formula:

|A| = √ [ (Ax)2 + (Ay)2 ]

Esta expresión es una aplicación del Teorema de Pitágoras.

Sea 0AxA un triángulo rectángulo, observemos que 0A es la hipotenusa; al aplicar el teorema de Pitágoras tenemos:

(0A)2 = (Ax)2 + (Ay)2

Es decir,

|A| = √ [ (Ax)2 + (Ay)2 ]

 En tres dimensiones

|A| = √ [ (Ax)2 + (Ay)2 +(Az)2 ]

Ejercicios

  1. Calcular la magnitud del vector A cuya posición viene dada por (2, 4, 5).

Vemos que 2 es la componente  “x”, 4 es  “y” y 5 es “z”. Ahora, haciendo uso de la fórmula para determinar magnitud de un vector, tenemos:

|A| = √ [ (Ax)2 + (Ay)2 +(Az)2 ] = √ [ (2)2 + (4)2 +(5)2 ]

= √ [ 4 + 16 + 25 ] =

= 6,71

  1. Calcular la magnitud del vector A cuyos extremos son (3, -2) y (1, 2).

magnitud vector3En este caso tenemos dos puntos (Ax1, Ay1) y (Ax2, Ay2) que corresponden a los extremos del vector  A; haciendo uso de la fórmula para determinar magnitud de un vector, tenemos:

|A| = √ [ (Ax2 – Ax1 )2 + (Ay2 – Ay1)2] = √ [ (1 – 3)2 + [2 – (-2)]2 ] =

= √ [ (-2)2 + (4)2 ] =

= √ 20 =

= 4,47

  1. Calcular la magnitud del vector A cuyos extremos son (1, 3, 2) y (5, 7, 6).

En este caso tenemos dos puntos (Ax1, Ay1, Az1) y (Ax2, Ay2, Az2) que corresponden a los extremos del vector  A; haciendo uso de la fórmula para determinar magnitud de un vector, tenemos:

|A| = √ [ (Ax2 – Ax1 )2 + (Ay2 – Ay1)2 + (Az2 – Az1)2] = √ [ (5 – 1)2 + (7 – 3)2 + (6 – 2)2] =

= √ [ (4)2 + (4)2 + (4)2  ] =

= √ 48 =

= 6,93

  1. Calcular la magnitud de los vectores A = (9, 7) y A = (6, 2, -3).

Vemos que para el vector A, 9 es la componente  “x” y 7 es  “y”. Ahora, haciendo uso de la fórmula para determinar magnitud de un vector, tenemos:

|A| = √ [ (Ax)2 + (Ay)2] = √ [ (9)2 + (7)2 ]

= √ (81 + 49) =

= 11,4

Ahora, vemos que para el vector B, 6 es la componente  “x”, 2 “y” y -3 es “z”. Ahora, haciendo uso de la fórmula para determinar magnitud de un vector, tenemos:

|A| = √ [ (Ax)2 + (Ay)2 +(Az)2 ] = √ [ (6)2 + (2)2 +(-3)2 ]

= √ ( 36 + 4 + 9 ) =

= √49

= 7