Discriminante

Para encontrar la solución de una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 se utiliza la fórmula cuadrática:

x= [ -b ± √ (b2 – 4ac) ] / 2a

Donde la expresión “b2 – 4ac” (que está dentro de la raíz cuadrática) se le denomina discriminante;  su signo determinará el número de soluciones de las ecuaciones cuadráticas y también si éstas son soluciones reales o imaginarias:

  • si el discriminante es positivo, b2 – 4ac > 0, hay DOS soluciones
  • si es cero, b2 – 4ac = 0, sólo hay UNA solución,
  • si es negativo, b2 – 4ac < 0, hay DOS soluciones que incluyen números imaginarios.

Ejemplo 1: Encontrar el discriminante de la ecuación cuadrática 2x2 + 5x + 3 = 0 y determinar el número de raíces reales.

Los coeficientes de la ecuación cuadrática son:

a = 2; b = 5 y c = 3

Sustituimos los coeficientes en la expresión del discriminante “b2 – 4ac” :

(5)2 – 4(2)(3) = 25 – 24 = 1

Como el valor del discriminante es mayor que cero, 1 > 0, la ecuación cuadrática tendrá dos soluciones reales.

Ejemplo 2: Encontrar el discriminante de la ecuación cuadrática 4x2 + 3x + 9 = 0 y determinar el número de raíces reales.

Los coeficientes de la ecuación cuadrática son:

a = 4; b = 3 y c = 9

Sustituimos los coeficientes en la expresión del discriminante “b2 – 4ac” :

(3)2 – 4(4)(9) = 9 – 144 = – 135

Como el valor del discriminante es menor que cero, – 135 < 0, la ecuación cuadrática tendrá dos soluciones imaginarias.

Discriminante de un polinomio

El discriminante de un polinomio es una función de sus coeficientes que determina la naturaleza de las raíces de dicho polinomio:

  • Para un polinomio cuadrático, ax2 + bx + c, la fórmula del discriminante (como hemos visto anteriormente) viene dada por: “D = b2 – 4ac”
  • Para un polinomio cúbico (o de grado 3), ax3 + bx2 + cx + d, la fórmula del discriminante viene dada por: “D = b2c2 – 4ac3 – 4b3d – 27a2d2 + 18abcd”
  • Para polinomios de grados superiores, el discriminante es siempre una función polinómica de los coeficientes y el número de términos en él aumenta exponencialmente con el grado del polinomio. Por ejemplo, para un polinomio de grado 4, el discriminante tiene 16 términos, para uno de grado 5, 59 términos.