Funciones hiperbólicas

funciones hiperbolicasLas funciones hiperbólicas se definen a través de expresiones algebraicas que incluyen funciones exponenciales ex y su función inversa e-x , donde e es la constante de Euler (o como se le conoce comúnmente “número e”), cuyo valor aproximado es 2,718281. Las funciones hiperbólicas básicas son seno hiperbólico (sinh) y el coseno hiperbólico (cosh), de éstos se derivan la función de tangente hiperbólica (tanh). Las otras funciones: cotangente (coth), secante (sech) y cosecante (csch), son las inversas de las tres anteriores respectivamente.

Definición

Se denominan funciones hiperbólicas al coseno hiperbólico (cosh), seno hiperbólico (senh) y las funciones que se obtienen a partir de ellas, como son la tangente hiperbólica (tanh) y sus respectivas inversas:

Coseno hiperbólico

Cosh (x) = (ex + e-x) / 2

coseno hiperbólico

Es una función par.

Seno hiperbólico

senh (x) = (ex – e-x) / 2

seno hiperbólico

Es una función impar.

Tangente hiperbólica

Tanh (x) = senh (x) / cosh (x) = (ex – e-x) / (ex + e-x) = (e2x – 1) / (e2x + 1)

tangente hiperbólica

Es una función impar.

Cotangente hiperbólica

Coth (x) = cosh (x) / senh (x) = (ex + e-x) / (ex – e-x) = (e2x + 1) / (e2x – 1)

cotangente hiperbólica

Definida sobre R* y más generalmente sobre C*; es una función impar.

Secante hiperbólica

Sech (x) = 1 / cosh (x) = 2 / (ex + e-x) =  2ex / (e2x + 1)

secante hiperbólica

Es una función par.

Cosecante hiperbólica

Csch (x) = 1 / senh (x) = 2 / (ex – e-x) =  2ex / (e2x – 1)

cosecante hiperbólica

Definida sobre R* y más generalmente sobre C*; es una función impar.

Demostración geométrica

Las funciones sinh y cosh satisfacen la ecuación de la hipérbola x2 – y2 = 1.

Suponiendo que x = cosh (t) e y = sinh (t) y considerando que:

Cosh (t) = (et + e-t) / 2 y senh (t) = (et – e-t) / 2

Sustituimos en la ecuación de la hipérbola

[(et + e-t) / 2]2 – [(et – e-t) / 2]2 = 1

[(e2t +2ete-t + e-2t) / 4] – [(e2t – 2ete-t + e-2t) / 4] = 1

Como ete-t = et – t = e0 = 1, tenemos:

[(e2t + 2 + e-2t) / 4] – [(e2t – 2 + e-2t) / 4] = 1

Restamos ya que tienen el mismo denominador:

[(e2t + 2 + e-2t)  – (e2t – 2 + e-2t)] / 4 = 1

(e2t + 2 + e-2t – e2t + 2 – e-2t) / 4 = 1

(e2t – 2 + e-2t – e2t – 2 – e-2t) / 4 = 1

4 / 4 = 1

1 = 1

Que es lo que queríamos demostrar.