Ángulos múltiples

Una identidad trigonométrica  es una igualdad entre expresiones que involucran funciones trigonométricas y que es verdadera para todos los valores del ángulo en los que están definidas. En el caso de ángulos múltiples encontramos expresiones como las siguientes: sen 2A, cos 3y, tg nα.

Identidades del ángulo doble, triple y medio

Identidades trigonométricas del ángulo doble

  • sen 2α = 2 sen α · cos α
  • cos 2α = cos² α – sen² α
  • tg 2α = 2tg α / (1 – tg² α)

Identidades trigonométricas del ángulo triple

  • sen 3α = 3 sen α – 4 sen³ α
  • cos 3α = 4cos³ α – 3cos α
  • tg 3α = (3tg α – tg³ α) / (1 – 3tg² α)

Identidades trigonométricas del ángulo mitad

  • sen (α / 2) = ± √[(1 – cos α) / 2]
  • cos (α / 2) = ± √[(1 + cos α) / 2]
  • tg (α / 2) = ± √[(1 – cos α) / (1 – cos α)]

Demostración

Ángulo doble

sen 2α

En este caso, lo más sencillo es utilizar las identidades de la suma de dos ángulos:

sen (α + β) = sin(α)·cos(β) + cos(α)·sen(β)

haciendo β = α, tenemos:

sen (α + α) = sen 2α = sin(α)·cos(α) + cos(α)·sen(α)

sen 2α = 2sin(α)·cos(α)

cos 2α

Para el coseno del ángulo doble repetimos el mismo procedimiento anterior:

Considerando que:

cos (α + β) = cos(α)·cos(β) – sen(α)·sen(β)

y haciendo β = α:

cos (α + α) = cos 2α = cos(α)·cos(α) + sen(α)·sen(α)

cos 2α = sin²(α) – cos²(α)

tg 2α

Como tg  (α + β) = (tg α + tg β) / (1 – tg α · tg β)

tg 2α = (tg α + tg α) / (1 – tg α · tg α) = 2 tg α / (1 – tg² α)

tg 2α = 2 tg α / (1 – tg² α)

Ángulo triple

Para demostrar el seno y coseno del ángulo triple podemos hacerlo de dos forma. La primera es siguiente un procedimiento similar al anterior al considerar que:

sen 3α = sen (α + 2 α) y cos 3α = cos(α + 2α).

Desarrollamos la suma de ángulos y después el ángulo doble.

Otra forma es utilizando la Fórmula de De Moivre, la cual establece que para cualquier número complejo (así como para cualquier real) “x” y  un entero “n”, se verifica que:

cos (nx) + isen (nx) = [cos (x) + isen(x)]n

Donde i es el número imaginario (i² = -1).

sen 3α y cos 3α

Haciendo n = 3 y x = α en la fórmula de Moivre, tenemos:

cos (3α) + i sen (3α) = [cos (α) + i sen(α)]3

cos (3α) + i sen (3α) = cos³ (α) + 3 cos² (α) i sen (α) + 3cos (α) i² sen² (α) + i³ sen³ (α)

Como i² = -1 y i³ = -i:

cos (3α) + i sen (3α) = cos³ (α) + 3 cos² (α)i sen (α) – 3 cos (α) sen² (α) – i sen³ (α)

Igualando la parte real y la imaginaria obtenemos:

cos (3α) = cos³ (α) – 3 cos (α) sen² (α)

sen (3α) = 3cos² (α) sen (α) – sen³ (α)

Considerando que cos² (α) + sen² (α) = 1

cos (3α) = cos³ (α) – 3 cos (α) [1 – cos² (α)] = cos³ (α) – 3cos (α) + 3 cos³ (α)] =

cos (3α) = 4 cos³ (α) –  3cos (α)   

sen (3α) = 3 [1 – sen² (α)] sen (α)  – sen³ (α) = 3 sen (α)   – 3 sen³ (α) – sen³ =

sen (3α) = 3 sen (α) – 4sen³ (α)

tg 3α

tg (3α) = tg (α + 2α) = [tg (α) + tg (2 α)] / [1 – tg (α) · tg (2 α)] =

=  {tg (α) + [2tg (α) / (1 – tg² (α))] / [1 – tg (α) · [2tg (α) / (1 – tg² (α))]} =

tg (3α) = (3tg α – tg³ α) / (1 – 3tg² α)