Ángulos múltiples

Una identidad trigonométrica  es una igualdad entre expresiones que involucran funciones trigonométricas y que es verdadera para todos los valores del ángulo (ángulos múltiples) en los que están definidas.

Identidades de ángulos múltiples

Identidades trigonométricas del ángulo doble

\large \begin{align*} \bullet & \hspace{1.0em} \sin 2a=2\sin a\cdot \cos a \\ \bullet & \hspace{1.0em} \cos 2a=2\cos^{2} a - \sin^{2} a \\ \bullet & \hspace{1.0em} \tan 2a=\frac{2\tan a}{1-\tan^{2}a} \\ \end{align*}

Identidades trigonométricas del ángulo triple

Identidades trigonométricas del ángulo mitad

Demostración

Ángulo doble

sen 2α

En este caso, lo más sencillo es utilizar las identidades de la suma de dos ángulos:

haciendo β = α, tenemos:

cos 2α

Para el coseno del ángulo doble repetimos el mismo procedimiento anterior:

Considerando que:

y haciendo β = α:

tg 2α

Como:

Entonces:

Ángulo triple

Para demostrar el seno y coseno del ángulo triple podemos hacerlo de dos forma. La primera es siguiente un procedimiento similar al anterior al considerar que:

Desarrollamos la suma de ángulos y después el ángulo doble.

Otra forma es utilizando la Fórmula de De Moivre, la cual establece que para cualquier número complejo (así como para cualquier real) “x” y  un entero “n”, se verifica que:

Donde i es el número imaginario:

sen 3α y cos 3α

Haciendo n = 3 y x = α en la fórmula de Moivre, tenemos:

Como i² = -1 y i³ = -i:

Igualando la parte real y la imaginaria obtenemos:

Considerando que:

tenemos:

tg 3α