Ángulos múltiples

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que involucran funciones trigonométricas y que es verdadera para todos los valores del ángulo (ángulos múltiples) en los que están definidas.

Identidades de ángulos múltiples

Identidades trigonométricas del ángulo doble

$\large \begin{align*} \bullet & \hspace{1.0em} \sin 2a=2\sin a\cdot \cos a \\ \bullet & \hspace{1.0em} \cos 2a=2\cos^{2} a - \sin^{2} a \\ \bullet & \hspace{1.0em} \tan 2a=\frac{2\tan a}{1-\tan^{2}a} \\ \end{align*}$

Identidades trigonométricas del ángulo triple

$gif.latex?\large&space;\begin{align*}&space;\bullet&space;&&space;\hspace{1.0em}&space;\sin&space;3a=3\sin&space;a\&space; &space;4&space;\sin^{3}&space;a&space;\\&space;\bullet&space;&&space;\hspace{1.0em}&space;\cos&space;3a=4\cos^{3}&space;a&space; &space;3\cos&space;a&space;\\&space;\bullet&space;&&space;\hspace{1$

Identidades trigonométricas del ángulo mitad

$png.image?\dpi{110}\large&space;\begin{align*}&space;\bullet&space;&&space;\hspace{1.0em}&space;\sin&space;\frac{a&space;}{2}=\pm&space;\sqrt{\frac{1 \cos&space;a}{2}}&space;\\&space;\bullet&space;&&space;\hspace{1.0em}&space;\cos&space;\frac{a&space;}{2}=\pm&space;\sqrt{\frac{1+\cos&space;a}{2}}&space;\\&space;\bullet&space;&&space;\hspace{1$

Demostración

Ángulo doble

sen 2α

En este caso, lo más sencillo es utilizar las identidades de la suma de dos ángulos:

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin\beta$ haciendo β = α, tenemos:

$\begin{align*} \sin (\alpha +\alpha)&=\sin 2\alpha = \sin \alpha \cdot \cos \alpha + \cos \alpha \cdot \sin\alpha \\ \sin 2\alpha &= 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \end{align*}$

cos 2α

Para el coseno del ángulo doble repetimos el mismo procedimiento anterior:

Considerando que:

$\cos (\alpha +\beta)=\cos \alpha \cdot \cos\beta - \sin \alpha \cdot \sin\beta$

y haciendo β = α:

$\begin{align*} \cos (\alpha +\alpha)&=\cos 2\alpha=\cos \alpha \cdot \cos\alpha - \sin \alpha \cdot \sin\alpha \\ \cos 2\alpha&=\cos^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha \end{align*}$

tg 2α

Como:

$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan\alpha +\tan\beta}{1-\tan\alpha \cdot \tan\beta }$

Entonces:

$\begin{align*} \tan (\alpha +\alpha )&=\tan2\alpha=\frac{\tan\alpha +\tan\alpha}{1-\tan\alpha \cdot \tan\alpha } \\ \tan2\alpha&=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha} \end{align*}$

Ángulo triple

Para demostrar el seno y coseno del ángulo triple podemos hacerlo de dos forma. La primera es siguiente un procedimiento similar al anterior al considerar que:

$\sin 3\alpha = \sin(\alpha +2\alpha)$ $\cos 3\alpha = \cos(\alpha +2\alpha)$

Desarrollamos la suma de ángulos y después el ángulo doble.

Otra forma es utilizando la Fórmula de De Moivre, la cual establece que para cualquier número complejo (así como para cualquier real) “x” y un entero “n”, se verifica que:

Donde i es el número imaginario:

$(i^{2}=-1)$

sen 3α y cos 3α

Haciendo n = 3 y x = α en la fórmula de Moivre, tenemos:

Como i² = -1 y i³ = -i:

Igualando la parte real y la imaginaria obtenemos:

$\begin{align*} \cos(3a)&=\cos ^{3}a-3\cos a\sin ^{2}a \\ \sin (3a)&=3\cos ^{2}a\cdot \sin a -\sin ^{3}a \end{align*}$

Considerando que:

$\cos ^{2}a+\sin ^{2}a=1$ tenemos:

$\begin{align*} \cos(3a)&=\cos ^{3}a-3\cos a\left ( 1-\cos ^{2}a \right ) \\ &=\cos ^{3}a-3\cos a-3\cos ^{3}a \\ &=4\cos ^{3}a - 3\cos a\\ \\ \sin (3a)&=3\left (1 -\sin ^{2}a \right ) \sin a -\sin ^{3}a \\ &=3 \sin a -3\sin ^{3}a-\sin ^{3}a \\ &=3 \sin a -4\sin ^{3}a \end{align*}$

tg 3α

Funciones hiperbólicas

Fórmula cuadrática

Autor Fecha de Publicación: Categorías: Geometría, MatemáticaTags: demostración ángulo doble, demostración ángulo triple, fórmula de De Moivre, identidades del ángulo doble, identidades trigonométricas del ángulo doble, identidades trigonométricas del ángulo mitad, identidades trigonométricas del ángulo triple, triple y medio

2 Comments

Marcos junio 14, 2023 at 5:54 am - Reply

Esta página contiene varios errores.
La fórmula del arco mitad está mal.
Igualmente la fórmula de Moivre.
- Soporte MiProfe junio 14, 2023 at 9:50 pm - Reply
  
  Gracias Marcos por tus observaciones, revisamos el contenido y lo hemos corregido.

Ángulos múltiples

Identidades de ángulos múltiples

Identidades trigonométricas del ángulo doble

Identidades trigonométricas del ángulo triple

Identidades trigonométricas del ángulo mitad