Funciones cuadráticas

función cuadráticaSea f:  tal que f(x) = ax2 + bx + c = 0, donde “x” es la variable o incógnita, y las letras a, b  y c  son los coeficientes, los cuales pueden tener cualquier valor, excepto que  a = 0, se le llama función cuadrática, cuya representación gráfica es una curva llamada parábola.

En una función cuadrática la variable aparece elevada al exponente , siendo éste su exponente máximo. Esta función tiene algunas características interesantes, puede ser una función estrictamente creciente o estrictamente decreciente y puede alcanzar un valor mínimo (o un valor máximo), el cual se le denomina vértice.

Representación gráfica de la parábola

Si relacionamos la función cuadrática con su representación gráfica tenemos:

Concavidad

Cuando a > 0, la parábola se abre hacia arriba y decimos que es cóncava hacia arriba; cuando a < 0, la parábola se abre hacia abajo y decimos que es cóncava hacia abajo.

concavidad

Vértice, máximo y mínimo

La parábola siempre tiene un valor de f(x) = y que es mínimo cuando a > 0 y máximo cuando a < 0.  El valor de “x” y el valor de “y” que es máximo o mínimo es un punto de la parábola que se le llama vértice, cuya abscisa se calcula con la siguiente formula:

x = – b / 2a

maximos y minimos

Crecimiento y decrecimiento

Cuando a > 0 desde -∞ hasta la abscisa del vértice la parábola es estrictamente decreciente y desde la abscisa hasta +∞, la parábola es estrictamente creciente.

Cuando a < 0 desde -∞ hasta la absisa del vértice la parábola es estrictamente creciente y desde la abscisa hasta +∞, la parábola es estrictamente decreciente.

Eje de simetría

La recta que pasa por el vértice y es paralela al eje y es el eje de simetría de la parábola.

eje simetria

Puntos de intersección con los ejes

Cuando a > 0

puntos de corte

Cuando a < 0

puntos de corte

La parábola siempre corta al eje y en el punto c que es el término independiente de la función cuadrática y = ax2 + bx + c = 0 y puede cortar al eje x en dos puntos x1 y x2, en un punto x1 = x2 o en ningún punto, pues estos representan a las raíces de la ecuación.

Ejemplo: Representar gráficamente la siguiente función cuadrática: 2x2 + 5x + 3 = 0

  • Como a > 0 → a = 2, la parábola es cóncava hacia arriba.
  •  Como a > 0 → a = 2, la parábola tiene un punto mínimo. La abscisa del vértice es:

x = – b / 2a = – 5 / 2(2) = – 5/4

  • La parábola es estrictamente decreciente desde -∞ hasta la abscisa del vértice.
  • La parábola es estrictamente creciente desde la abscisa del vértice hasta +∞
  • Los puntos de intersección son:

x1 = -1 ; x2 = – 3/2 ; c = 3

funcion cuadratica

Calculo de las raíces (puntos de corte):

De la ecuación vemos que los coeficientes son:

a = 2; b = 5 y c = 3

Sustituimos los coeficientes en la fórmula:

x= [ – b ± √ (b2 – 4ac) ] / 2a

x= { – 5 ± √ [ (5)2 – 4(2)(3)] } / 2(2)

Resolvemos

x=  [ – 5 ± √ ( 25 – 24 ) ] / 4 = ( – 5 ± √1 ) / 4

x1 = ( – 5 + √1 ) / 4  =  -1

x2 = ( – 5 – √1 ) /4 = – 3/2