Expresiones racionales

expresionesracionalesSi p(x) y q(x) son dos polinomios, con q(x) ≠ 0, entonces el cociente: p(x) / q(x) se le denomina expresión racional.

Una expresión racional o expresión algebraica es un cociente de polinomios.

Simplificación de expresiones racionales

  1. Factorizar cada uno de los dos polinomios p(x) y q(x).
  2. Encontrar el máximo común divisor (MCD) de p(x) y q(x).
  3. Si MCD es igual a uno, entonces la expresión racional p(x) / q(x) dada está en su mínima expresión.
  4. Si MCD es distinto de uno, entonces se debe dividir el numerador p(x) y el denominador q(x) por el MCD de p(x) y q(x).
  5. La expresión racional p(x)/q(x) obtenida en 3 o en 4 está en su mínima expresión.

Ejemplo: Simplificar la siguiente expresión racional a su mínima expresión (x2 – 5x – 6) / (x2 + 3x + 2)

Sea:  p(x) = x2 – 5x – 6 = (x – 6)·(x + 1)  y  q(x)=x2 + 3x + 2 = (x + 2)·(x + 1).

El máximo común divisor de ambos es MCD = (x + 1).

            (x2 – 5x – 6) / (x2 + 3x + 2) = [ (x – 6)·(x + 1) ] / [(x + 2)·(x + 1) ]= (x – 6) / (x + 2)

Suma y resta de expresiones racionales

Sea A = p(x) / q(x)  y B= r(x) / s(x)  dos expresiones racionales con q(x) ≠ 0 y s(x) ≠ 0, entonces:

  • A + B = [ p(x)∙s(x) + r(x)∙q(x) ] / [ q(x)∙s(x) ]
  • A – B = [ p(x)∙s(x) – r(x)∙q(x) ] / [q(x)∙s(x) ]

Multiplicación y división de expresiones racionales

Sea C = p(x) / q(x)  y D= r(x) / s(x)  dos expresiones racionales con q(x) ≠ 0 y s(x) ≠ 0, entonces:

  • C × D = [ p(x)∙r(x) ] / [ q(x)∙s(x) ]
  • C ÷ D = [ p(x)∙s(x) ] / [ q(x)∙r(x) ]

Ejemplo: Sea P = 4x / (x2 – 1) y Q = (x + 1) / (x – 1), determine  P × Q y P ÷ Q.

  • P × Q = 4x / (x2 – 1) × (x + 1) / (x – 1) = 4x (x + 1) / [ (x2 – 1)(x – 1) ]

Recordando que x2 – 1 = (x – 1)(x + 1), entonces:

P × Q = 4x(x + 1) / [ (x – 1)(x + 1)(x – 1) ] = 4x / (x-1)2

  • P ÷ Q = 4x / (x2 – 1) ÷ (x + 1) / (x – 1) = 4x(x – 1) / [ (x2 – 1)(x + 1) ]

= 4x(x – 1) / [ (x – 1)(x + 1)(x + 1) ] = 4x / (x-1)2