Ecuación cuadrática

ecuación segundo gradoUna ecuación cuadrática o de segundo grado es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2. Así, ax2 + bx + c = 0 es una ecuación de segundo grado. En esta ecuación La “x” es la variable o incógnita y las letras a, b y c son los coeficientes, los cuales pueden tener cualquier valor, excepto que a = 0.

Ecuaciones cuadráticas completas

Son ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0 que tienen un término x2, un término x y un término independiente de x. Así, 2x2 + 5x + 3 = 0 es una ecuación cuadrática completa.

Ecuaciones cuadráticas incompletas

Son ecuaciones de la forma  ax2 + c = 0    que carecen del término x o de la forma  ax2 + bx = 0 que carecen del término independiente. Así, 2x2 + 3 = 0 y 2x2 + 5x  son ecuaciones cuadráticas incompletas.

Raíces de una ecuación cuadrática

Son los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación. Toda ecuación cuadrática tiene dos raíces.

Resolución de ecuaciones cuadráticas

Es hallar las raíces de la ecuación. Para ello hacemos uso de la fórmula:

x = [ – b ± √(b2 – 4ac) ] / 2a

El “±” expresa que la ecuación tiene ¡DOS SOLUCIONES! La parte “b2 – 4ac” se le denomina discriminante:

  • si es positivo, hay DOS soluciones
  • si es cero sólo hay UNA solución,
  • y si es negativo hay dos soluciones que incluyen números imaginarios.

Ejemplo 1: Resolver la ecuación cuadrática 2x2 + 5x + 3 = 0.

Los coeficientes son: a = 2; b = 5 y c = 3. Los sustituimos en la fórmula:

x= [ – b ± √( b2 – 4ac) ] / 2a     →         x = {- 5 ± √ [52 – 4(2)(3)] } / [2(2)]

Resolvemos

x = { – 5 ± √[25 – 24] } / 4 = {-5 ± √1} / 4

x1 = {- 5 + 1 } / 4     ;    x2 = {- 5 – 1} / 4

x1 = – 1     ;    x2  = – 3/2

Ejemplo 2: Resolver la ecuación cuadrática x2 – 12x + 36 = 0.

Los coeficientes son: a = 1; b = – 12 y c = 36. Los sustituimos en la fórmula:

x = [ – b ± √(b2 – 4ac) ] / 2a         →           x = {- (-12) ± √[(-12)2– 4(1)(36)] } / [2(1)]

Resolvemos

x = {12 ± √ [144 – 144] } / 2 = 12 / 2 = 6

x1 = x2 = 6