El teorema del binomio se utiliza para calcular la expansión (x + y)n sin llevar a cabo una multiplicación directa. En la expansión x e y son números reales y n es un número entero.
Para todos los enteros positivos n, el binomio (x + y) se puede expandir:
(x + y)n = xn + nC1 x(n-1) y + nC2 x(n-2) y2 + nC3 x(n-3) y3 + … + yn
Donde los coeficientes nCr que aparecen en la expansión binomial se le denominan coeficientes binomiales; estos también pueden expresarse como 
. Para calcularlos se hace uso de la fórmula combinatoria:
nCr = n! / [ (n – r)!∙r! ]
Expansiones binomiales básicas
- (x + y)0 = x0 = 1
- (x + y)1= x + { 2! / [ (2 – 1)!∙1! ] } · x1y = x+y
- (x + y)2 = x2 + { 2! / [ (2-1)!∙1! ] }· x1y + {2! / [ (2 – 2)!∙2! ] }· x0 y2 = x2 + 2xy + y2
- Si n es un número racional y x es un número real tal que |x| < 1, entonces
- (1 + x)n = 1 + nx + nC2 x2 + ⋯ nCr xr + ⋯ ∞
- (1 + x)-n = 1 – nx + nC2 x2 + nC3 x3 + ⋯ ∞
- (1 – x)n = 1 – nx + nC2 x2 + nC3 x3 + ⋯ ∞
- (1 – x)-n = 1 + nx + nC2 x2 + ⋯ nCr xr + ⋯ ∞
Ejemplos:
- Resolver (x + 20)3.
Como n = 3, tenemos que:
(x + y)3 = x3 +3! / [(3 – 1)!∙1!] · x2y + 3! / [(3 – 2)!∙2!] · x1y2 + 3! / [(3 – 3)!∙3!] · x0 y3
= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Ahora, como y=20, obtenemos
(x + 20)3 = x3 + 3x2(20) + 3x(20)2 + (20)3 =
= x3 + 60x2 + 1200x + 8000
- Determine los coeficientes binomiales de la expansión (x + 2)6 utilizando el teorema binomial.
Comparando (x + 2)6 con (x + y)n, determinamos que y = 2 y n = 6. Por lo tanto:
(x + y)6 = x6 + 6! / [(6 – 1)!∙1!] · x5y + 6! / [(6 – 2)!∙2!] · x4y2 + 6! / [(6 – 3)!∙3!] · x3y3 + 6! / [(6 – 4)!∙4!] · x2y4 + 6! / [(6 – 5)!∙5!] · x1y5 + 6! / [(6 – 6)!∙6!] · x0y6 =
= x6 + 6x2y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6
Por lo tanto:
(x + 2)6 = x6 + 6x2(2) + 15x4(2)2 + 20x3(2)3 + 15x2(2)4 + 6x(2)5 + (2)6 =
= x6 + 12x2 + 60x4 + 160x3 + 240x2 + 192x + 64
En consecuencia:
- Coeficiente de x6 = 1
- Coeficiente de x5 = 12
- Coeficiente de x4 = 60
- Coeficiente de x3 = 160
- Coeficiente de x2 = 240
- Coeficiente de x = 192
- Constante =64
