Expansión binomial

El teorema del binomio se utiliza para calcular la expansión (x + y)n sin llevar a cabo una multiplicación directa. En la expansión x e y  son números reales y n es un número entero.

Para todos los enteros positivos n, el binomio (x + y) se puede expandir:

(x + y)n = xn + nC1 x(n-1) y + nC2 x(n-2) y2 + nC3 x(n-3) y3 + … + yn

Donde los coeficientes nCr que aparecen en la expansión binomial se le denominan coeficientes binomiales; estos también pueden expresarse como ecuacion2

 . Para calcularlos se hace uso de la fórmula combinatoria:

nCr = n! / [ (n – r)!∙r! ]

expansion binomial

Expansiones binomiales básicas




  • (x + y)0 = x0 = 1
  • (x + y)1= x + { 2! / [ (2 – 1)!∙1! ] } · x1y = x+y
  • (x + y)2 = x2 + { 2! / [ (2-1)!∙1! ] }·  x1y + {2! / [ (2 – 2)!∙2! ] }·  x0 y2 = x2 + 2xy + y2
  • Si n es un número racional y x es un número real tal que |x| < 1, entonces
    • (1 + x)n = 1 + nx + nC2 x2 + ⋯ nCr xr + ⋯ ∞
    • (1 + x)-n = 1 – nx + nC2 x2 + nC3 x3 + ⋯ ∞
    • (1 – x)n = 1 – nx + nC2 x2 + nC3 x3 + ⋯ ∞
    • (1 –  x)-n = 1 + nx + nC2 x2 + ⋯ nCr xr + ⋯ ∞

Ejemplos:

  1. Resolver (x + 20)3.

Como n = 3, tenemos que:

(x + y)3 = x3 +3! / [(3 – 1)!∙1!] · x2y + 3! / [(3 – 2)!∙2!] · x1y2 + 3! / [(3 – 3)!∙3!] · x0 y3

 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

Ahora, como y=20, obtenemos

(x + 20)= x3 + 3x2(20) + 3x(20)2 + (20)=

= x3 + 60x2 + 1200x + 8000

  1. Determine los coeficientes binomiales de la expansión (x + 2)6 utilizando el teorema binomial.

Comparando (x + 2)6 con (x + y)n, determinamos que y = 2 y n = 6. Por lo tanto:

(x + y)6 = x6 + 6! / [(6 – 1)!∙1!] · x5y + 6! / [(6 – 2)!∙2!] · x4y2 + 6! / [(6 – 3)!∙3!] · x3y3 + 6! / [(6 – 4)!∙4!] · x2y4 + 6! / [(6 – 5)!∙5!] · x1y5 + 6! / [(6 – 6)!∙6!] · x0y6 =

= x6 + 6x2y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6

Por lo tanto:

(x + 2)6 = x6 + 6x2(2) + 15x4(2)2 + 20x3(2)3 + 15x2(2)4 + 6x(2)5 + (2)=

= x6 + 12x2 + 60x4 + 160x3 + 240x2 + 192x + 64

En consecuencia:

  • Coeficiente de x6 = 1
  • Coeficiente de x5 = 12
  • Coeficiente de x4 = 60
  • Coeficiente de x3 = 160
  • Coeficiente de x2 = 240
  • Coeficiente de x = 192
  • Constante =64