Coeficiente binomial

Dado un conjunto x con n elementos, el número de subconjuntos de x que tienen r elementos es el coeficiente binomial de n en r y se denota como:

ecuacion2

La expresión anterior también se puede escribir como C(n,r) o nCr. El coeficiente binomial indica el número de formas en que se puede seleccionar un subconjunto no ordenado de tamaño r de un conjunto de tamaño n.

El coeficiente binomial se puede calcular mediante la siguiente expresión:

ecuacion7

La fórmula anterior utiliza la notación factorial “!”; para cualquier número entero positivo n, su factorial  n! es:

n! = n × (n – 1) × (n – 2) … × 3 × 2 × 1

Además, 0! = 1.

Propiedades

  • nCr + nCr+1 = n+1Cr+1
  • nC0 +   nC1 + nC2 + … + nCn = 2n
  • nC0 +   nC1 + nC2 + … +(-1)nnCn = 0
  • nC0 +   nC2 + nC4 + nC6 + …  = 2n-1
  • nC0 +   nC3 + nC5 + nC7 + …  = 2n-1
  • nCn –    n+1C1 + n+2C2  – … + n+mCn = n+m+1Cn+1 
  • nCn –    (nC1)2 + (nC2)2  – … + (nCn)2 = 2nCn  
  • nC1 +   2·nC2 + 3·nC3 + … + n·nCn = n·2n-1
  • nC0 – 2·nC1 + 3·nC2 + … + (-1)n+1 · nCn = 0

Ejemplo: Determine los valores de 10C4 y 30C18.

Sabemos que:

nCr = n! / [ (n – r)! ∙ r! ]

Por lo tanto:

  • 10C4 = 10! / [ (10 – 4)! ∙ 4! ] = 10! / [ 6! ∙ 4! ] = 210
  • 30C18 = 30! / [ (30 – 18)! ∙ 18! ] = 30! / [ 12! ∙ 18! ] = 8,6 x 107