Ecuaciones perpendiculares

rectas perpendicularesDos rectas r = Ax + By + C y s = Dx + Ey + F serán perpendiculares, si sus pendientes mr y ms son inversas y cambiadas de signo, es decir:

mr = – 1 / ms

Lo anterior se conoce como el teorema sobre pendientes de rectas perpendiculares.

Teorema sobre pendientes de rectas perpendiculares

Dos rectas con pendiente mr y ms son perpendiculares si y solo si:

mr · ms = – 1 o mr = – 1 / ms

Ejemplos:

  1. Hallar una recta perpendicular a r = x – 2y – 1 = 0 y que pasa por el punto A(2,6).

La pendiente de r = x – 2y – 1 = 0   es:

2y = x – 1

y = 1/2x – 1/2

y = 1/2(x – 1)

y = mr∙(x – 1)

mr = 1/2

Como mr · ms = – 1, tenemos que:

ms = – 2

Por lo tanto, la ecuación de la recta perpendicular a r y que pasa por que pasa A(2,6), será:

y – 6 = – 2(x – 2)

2x + y – 10 = 0

  1. Hallar la ecuación de la recta perpendicular a r = 6x+ 4y – 1 = 0 y que pasa por el punto A(-1,-3).

La pendiente de r = 6x + 4y – 1 = 0   es:

4y = – 6x + 1

y = – 3/2x + ¼

y = -3/2(x – 1/6)

mr = -3/2

Como mr · ms = – 1, tenemos que:

ms = 2/3

Por lo tanto, la ecuación de la recta perpendicular a r y que pasa por que pasa A(-1,-3), será:

y + 3 = 2/3(x + 1)

2x – 3y – 7 = 0

Demostración

demostracion rectas perpendiculares

Sean dos rectas y = mrx e y =msx que pasan por el origen. Cuando trazamos la recta vertical x =1, observamos que corta a:

  • r en el punto A(x, mrx) = (1, mr)
  • s en B(x, msx)=(1, ms).

Éstas serán perpendiculares si y solo si el ángulo 0AB es recto (90°).

Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos:

 |AB|2 = |0A|2 + |0B|2

Donde:

demostracion rectas perpendiculares|0A| = √[1 + (mr)2]

demostracion rectas perpendiculares|0B| = √[1 + (- ms)2] = √[1+(ms)2]

demostracion rectas perpendiculares|AB| = mr + (- ms) = mr – ms

Por lo tanto:

(mr – ms)2 = {√[1 + (mr)2]}2+ {√[1+(ms)2]}2

(mr)2 – 2 mrms + (ms)2 = 1 + (mr)2 + 1 (ms)2

– 2 mrms =  2

mrms =  – 1

Que es lo que queríamos demostrar