Ecuaciones perpendiculares

Dos rectas r = Ax + By + C y s = Dx + Ey + F serán perpendiculares, si sus pendientes m_r y m_s son inversas y cambiadas de signo, es decir:

m_r = – 1 / m_s

Lo anterior se conoce como el teorema sobre pendientes de rectas perpendiculares.

Teorema sobre pendientes de rectas perpendiculares

Dos rectas con pendiente m_r y m_s son perpendiculares si y solo si:

m_r · m_s = – 1 o m_r = – 1 / m_s

Ejemplos:

1. Hallar una recta perpendicular a r = x – 2y – 1 = 0 y que pasa por el punto A(2,6).

La pendiente de r = x – 2y – 1 = 0   es:

2y = x – 1

y = 1/2x – 1/2

y = 1/2(x – 1)

y = m_r∙(x – 1)

m_r = 1/2

Como m_r · m_s = – 1, tenemos que:

m_s = – 2

Por lo tanto, la ecuación de la recta perpendicular a r y que pasa por que pasa A(2,6), será:

y – 6 = – 2(x – 2)

2x + y – 10 = 0

2. Hallar la ecuación de la recta perpendicular a r = 6x+ 4y – 1 = 0 y que pasa por el punto A(-1,-3).

La pendiente de r = 6x + 4y – 1 = 0   es:

4y = – 6x + 1

y = – 3/2x + ¼

y = -3/2(x – 1/6)

m_r = -3/2

Como m_r · m_s = – 1, tenemos que:

m_s = 2/3

Por lo tanto, la ecuación de la recta perpendicular a r y que pasa por que pasa A(-1,-3), será:

y + 3 = 2/3(x + 1)

2x – 3y – 7 = 0

Demostración

Sean dos rectas y = m_rx e y =m_sx que pasan por el origen. Cuando trazamos la recta vertical x =1, observamos que corta a:

• r en el punto A(x, m_rx) = (1, m_r)
• s en B(x, m_sx)=(1, m_s).

Éstas serán perpendiculares si y solo si el ángulo 0AB es recto (90°).

Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos:

 |AB|² = |0A|² + |0B|²

Donde:

|0A| = √[1 + (m_r)²]

|0B| = √[1 + (- m_s)²] = √[1+(m_s)²]

|AB| = m_r + (- m_s) = m_r – m_s

Por lo tanto:

(m_r – m_s)² = {√[1 + (m_r)²]}²+ {√[1+(m_s)²]}²

(m_r)² – 2 m_rm_s + (m_s)² = 1 + (m_r)² + 1 (m_s)²

– 2 m_rm_s =  2

m_rm_s =  – 1

Que es lo que queríamos demostrar.