Ecuación de la recta en su forma pendiente – intersección

pendiente-interseccion  Ecuación de la recta en su forma pendiente – intersección pendiente interseccionLa ecuación de la recta en su forma pendiente-intersección se escribe como:

y = mx + b

donde m es la pendiente y b es la intersección del eje y. Ya que solo necesitamos conocer estos dos valores, es muy fácil hallar la ecuación de la recta a partir de la gráfica o viceversa, trazar la gráfica a partir de la ecuación.

Definición

Sabemos que la ecuación general de una recta es:

Ax + By + C = 0

Si despejamos y, obtenemos la ecuación de la recta en su forma pendiente – intersección:

y = – (A/B)x – C/A

y = mx + b

Donde m = – (A/B)es la pendiente y b = – C/A es la intersección del eje y, cuya coordenada es (0, b).

Ejemplo: Sea r = 5x + 3y – 5 = 0, hallar su pendiente y la intersección en y.

Podemos resolver el problema de dos maneras:

  1. Despejando “y” y luego llevando la ecuación dada a la forma pendiente – intersección:

Al despejar y obtenemos:

y = – (5/3)x + 5/3

Por lo tanto:

m = – (5/3); b = 5/3

  1. Determinando A, B y C y luego sustituyendo en la ecuación de la recta en su forma pendiente – intersección:

Como r = 5x + 3y – 5 = 0, entonces:

A = 5; B = 3; C = – 5

Ya que:

y = – (A/B)x – C/A

La pendiente será:

m = – A/B = -5/3

Y  b será:

b = – C/A = – (-5/3) = 5/3

De gráfica a ecuación

Si tenemos la gráfica de una recta podemos escribir su ecuación con tan solo identificar la pendiente y la intersección en y

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta graficada a  continuación:

Gráfica 1  Ecuación de la recta en su forma pendiente – intersección Grafica 1 e1459529227475

Podemos encontrar la pendiente usando la fórmula:

m = (y2 – y1) / (x2 – x1)

De la imagen observamos que los puntos (-2, -1) y (1, 5) están sobre la recta, por lo tanto:

m = [5 – (- 1)] / [(1 – (-2)] = 6/3 = 2

Ahora, observamos que la intersección del eje y es b = 3. En consecuencia, la ecuación de la recta será:

y = 2x + 3

Gráfica 2  Ecuación de la recta en su forma pendiente – intersección Grafica 2 e1459529251395

De ecuación a gráfica

Podemos graficar una recta a partir de su ecuación pendiente – intersección.

Ejemplo: graficar la recta y = – (5/3)x + 2.

De la ecuación observamos que:

m = – 5/3 y b = 2

1. Empezamos con identificar el punto (0, b) = (0, 2) en nuestra gráfica.

Gráfica 3  Ecuación de la recta en su forma pendiente – intersección Grafica 3 e1459529460273

2. Como la pendiente es m = – 5/3, contamos 5 unidades por encima del punto anterior y 3 a la izquierda (también podemos contar 5 hacia abajo y 3 a la derecha), luego lo trazamos en nuestra gráfica.

Gráfica 4  Ecuación de la recta en su forma pendiente – intersección Grafica 4 e1459529477129

3. Unimos los dos puntos anteriores y así obtenemos la gráfica de y = – (5/3)x + 2

Gráfica 5  Ecuación de la recta en su forma pendiente – intersección Grafica 5 e1459529498578