Desigualdad

DesigualdadesEn matemática, una desigualdad es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra. Las desigualdades existentes son:

  • a > b  Se lee que “a es mayor que b”.
  • a < b  Se lee que “a es menor”.
  • a ≥ b  Se lee que “a es igual o mayor que b”.
  • a ≤ b  Se lee que “a es igual o menor que b”.

Miembros

Se denomina primer miembro de una desigualdad  a la expresión que está a la izquierda y segundo miembro a la que está a la derecha del signo de desigualdad. Así, en a + b > x + y el primer miembro es a + b y x + y el segundo.

Términos

Se denomina términos de una desigualdad a las cantidades que están separadas de otras por el signo “+” , “-” o la cantidad que está sola en un miembro. En la desigualdad anterior los términos son a, b, x e y.

  • Dos desigualdades son del mismo signo o subsisten en el mismo sentido cuando sus primeros miembros son mayores o menos, ambos, que los segundos. Así,  a > b y x > y son desigualdades del mismo sentido.
  • Dos desigualdades son del signo contrario o no subsisten en el mismo sentido cuando sus primeros miembros no son ambos mayores o menores que los segundos miembros. Así,  5 > 2 y 2 > 8 son desigualdades de sentido contrario.

Propiedades de las desigualdades

  • Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un número, la desigualdad conserva su sentido. Ejemplo: a los dos miembros de la desigualdad 8 > 3, primero les vamos a sumar 1 y luego le vamos a restar 10.

8 > 3     →      8 + 1 > 3 + 1     →     9 > 4

8 > 3     →      8 – 10 > 3 – 10     →    -2 > -7

Podemos observar que el sentido de la desigualdad después de la suma y de la resta no ha variado.

  • Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica por el mismo número positivo, la desigualdad conserva su sentido. Ejemplo: a los dos miembros de la desigualdad 8 > 3, les vamos a multiplicar por +2.

8 > 3     →      8∙2 > 3∙2     →     16 > 6

Podemos observar que el sentido de la desigualdad no ha variado.

  • Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica por el mismo número negativo, la desigualdad cambia su sentido. Ejemplo: a los dos miembros de la desigualdad 8 > -3, les vamos a multiplicar por -2.

8 > -3     →      8∙(-2) > -3∙(-2)     →    -16 < 6

Podemos observar que el sentido de la desigualdad ha variado.

  • Si a los dos miembros de una desigualdad se les divide por el mismo número positivo, la desigualdad mantiene su sentido, pero si se les divide por un número negativo, la desigualdad cambia su sentido. Ejemplo:

8 > -6     →      8 ÷ 2 > -6 ÷ 2    →    4 > -3

8 > -6     →      8 ÷ (-2)>-6 ÷ (-2)    →   -4 < 3