Completando el cuadrado

En matemática, completar el cuadrado es un método para resolver una ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0.

Para comprender este método reescribamos la ecuación cuadrática  ax2 + bx + c = 0, de la siguiente manera:

x2 + (b/a)x = – c/a

Si observamos el primer término (a la izquierda del signo =), vemos que el binomio “ax2+ (b/a)x” le falta un término para ser un trinomio cuadrado perfecto (a2 + 2ab + b2). Dicho término es el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término, es decir, (b/2a)2 o lo que es lo mismo,  b2/(4a2). En efecto, se ha formado un trinomio cuyo primer término es el cuadrado de x, su segundo término es el doble de producto de x por b/2a; y su tercer término es el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término b/2a, es decir, b2/(4a2):

x2 + (b/a)x + b2/(4a2) = – c/a

Ahora, para no alterar la ecuación se le agrega al segundo miembro la misma cantidad que se le ha agregado al primer miembro, así tendremos:

x2 + (b/a)x + b2/(4a2) = – c/a + b2/(4a2)

En el primer miembro de la ecuación se tiene un trinomio cuadrado perfecto, por lo tanto:

(x + b/2a)2 = – c/a + b2/(4a2)

Extrayendo la raíz cuadrada a ambos miembros se tiene:

√(x + b/2a)2 = ± √[- c/a + b2/(4a2) ]

(x + b/2a) = ± √[- c/a + b2/(4a2) ]

En consecuencia las raíces de la ecuación cuadrática serán:

  •  x1 = -b/2a + √[- c/a + b2/(4a2) ]
  • x2 = -b/2a – √[- c/a + b2/(4a2) ]

Ejemplo 1: Resolver la ecuación cuadrática 2x2 + 5x + 3 = 0.

Los coeficientes son: a = 2; b = 5 y c = 3

Sustituimos los coeficientes en las fórmulas de las raíces x1 y x2:

x1 = -5 / [2(2)] + √ [ -3/2 + 52/[4(2)2) ] = -5/4 + √ [ -3/2 + 25/16 ] = -5/4 + ¼ = 4/4 = -1

x2 = -5 / [2(2)] – √ [ -3/2 + 52/[4(2)2) ] = -5/4 + √ (1/16) = -5/4 – ¼ = 6/4 = – 3/2

x1 = -1     ;    x2 = – 3/2

Sol:    2x2 + 5x + 3 = (x + 1)(x + 3/2)

Ejemplo 2: Resolver la ecuación cuadrática x2 – 12x + 36 = 0.

Los coeficientes son: a=1; b = -12 y c = 36

Por lo tanto:

x1 = x2 = – 12 / 2(1) + √ [ -36/1 + (-12)2/[4(1)2 ] = 6 + √ (-36 + 36 = 6

x1 = x2 = 6

Sol:    x2 – 12x + 36 = (x – 6) (x – 6)