Gráfica de la función exponencial
Cuando se trabaja con funciones, que involucran la operación de potenciación o una variable como potencia, se les llama funciones exponenciales. Las funciones exponenciales se expresan de forma general de la siguiente manera:
y(x) = kax
Donde, k es un número real, a es un número positivo diferente de uno y x, además de ser la variable, es la potencia.
Para graficar una función exponencial, es importante recordar la propiedad de potencia que dice que todo número elevado a la cero es igual a uno, es decir a0 = 1. Entonces, siendo el gráfico creciente o decreciente siempre cortará al eje y en 1.
Definición
Toda función f: R → R tal que y(x) = ax , en donde a es positiva pero diferente de uno, se llama función exponencial.
Características:
- Como a0 = 1, la curva pasa por el punto (0,1).
- Como a1 = a, la curva pasa por el punto (1,a).
- El valor de y en la expresión y = ax para cualquier número del conjunto R siempre es un número positivo y nunca puede valer cero.
- La curva nunca corta al eje x.
- Cuando a > 1 la curva es estrictamente creciente.
- Cuando a < 1 la curva es estrictamente decreciente.
La función exponencial siempre es positiva, por lo tanto su dominio será desde (-∞, +∞) y su rango desde (0, +∞).
Ejemplo: grafique la siguiente función f(x) = 2(1-x) y determine su dominio y rango.
El hecho de que la variable en la función se encuentre como potencia, nos confirma que esta función es exponencial.
La función puede ser reescrita de la siguiente forma:
f(x) = 2-(x-1)
Recordando la propiedad de potencia a-1 = 1/a, entonces:
f(x) = 1/2(x-1)
Observamos que la base de esta función exponencial es menor que uno, por lo tanto su gráfico es decreciente. Pero para poder graficarla debemos saber en qué punto corta al eje y, para ello sustituiremos el valor x = 0 en la función:
f(x) = 1/2(0-1)
f(x) = 1/2-1
Aplicando la propiedad de potencia 1/a = a-1, entonces:
f(x) = 2
La función corta al eje y en 2.
Dominio de la función: (-∞, +∞)
Rango de la función: (0, +∞)
