Ecuaciones con radicales

ecuacion irracionalUna ecuación con radicales o ecuación irracional, es toda aquella que tiene una incógnita bajo el signo radical (Figura I). Para resolver ecuaciones de este tipo se deben aislar las raíces que contienen las incógnitas en un miembro de la ecuación y posteriormente elevar ambos miembros a una potencia igual al índice de la raíz. En algunas ocasiones, al realizar lo anterior, pueden aparecer soluciones “erróneas”, denominadas raíces extrañas. Por ello, siempre hay que realizar la comprobación en la ecuación inicial para detectar y desechar las soluciones que no son válidas.

Resolviendo ecuaciones con radicales

La ecuación ” √x=a ”  se dice que es una ecuación con radicales o una ecuación irracional. En éstas, las incógnitas están bajo un signo radical, es decir, en la parte subradical. Para resolver una ecuación irracional es necesario eliminar el signo radical, lo cual se consigue elevando los dos miembros de la ecuación a una potencia igual al índice de la raíz:

Pasos para resolver una ecuación con radicales o irracional

Para resolver este tipo de ecuaciones se efectúan los siguientes pasos:

  1. Agrupar los términos de la variable que estén bajo el signo radical en un miembro de la ecuación y el resto de los términos en el otro.
  2. Elevar ambos miembros a una potencia igual al índice de la raíz involucrada.
  3. Si la ecuación obtenida en el paso 2 no contiene radicales, se debe resolver normalmente. Si por el contrario tiene uno o más radicales se repiten los pasos 1 y 2 hasta obtener una ecuación si radicales.
  4. Sustituir los valores obtenidos en el paso anterior en la ecuación inicial y evaluar si cumplen con esta última.

En algunas ocasiones, pueden aparecer soluciones, llamadas raíces extrañas, que no cumplen con la ecuación original. Por lo tanto, se debe verificar cada una de las soluciones en la ecuación original y descartar aquellas que no cumplen con ésta.

Ejemplo 1: Resolver 3√ (4x + 3) = 3

Elevamos al cubo ambos miembros:

[3√ (4x + 3) ]3 = 3= 4x + 3 = 27

Restamos 3 en ambos miembros de la ecuación:

4x = 27 – 3

Dividimos entre 4 ambos miembros de la ecuación:

x = 24 / 4

Posible solución:

x = 6

Al sustituir x = 6 en la ecuación original para evaluar si es una raíz extraña o no, comprobamos que 3√ (4x + 3) = 3, es correcta. Por tanto:

Solución: x = 6

Ejemplo 2: Resolver 3√ [2 + 5√(x + 5) ] = 2

Elevamos al cubo ambos miembros:

{ 3√ [2 + 5√(x + 5) ] }3 = 23

Eliminamos el radical al cubo:

2 + 5√(x + 5) = 8

Restamos 2 en ambos miembros de la ecuación:

√(x + 5) = 8 – 2

Observemos que la incógnita está bajo un signo radical:

√(x + 5) = 6

Por lo tanto, elevamos al cuadrado ambos miembros:

[√(x + 5)]2 = 62

Eliminamos el radical al cuadrado:

x + 5 = 36

Restamos 5 en ambos miembros de la ecuación:

x = 36 – 1

Posible solución:

x = 31

Al sustituir  en la ecuación original para evaluar si es una raíz extraña o no, comprobamos que 3√ {2 + 5√[(31) + 5] } = 2, es correcta. Por tanto:

Solución: x = 31

Ejemplo 3: Resolver √ [ 2 + √ (x – 5 ) ] = √ (13 – x)

Elevamos al cuadrado ambos miembros:

{ √ [ 2 + √ (x – 5 ) ] }2 = { √ (13 – x) }2

Eliminamos los radicales al cuadrado:

2 + √ (x – 5 ) = 13 – x

Restamos 2 en ambos miembros de la ecuación:

√ (x – 5 ) = 13 – x – 2

Observemos que la incógnita está bajo un signo radical:

√ (x – 5 ) = 11 –  x

Por lo tanto, elevamos al cuadrado ambos miembros:

[ √ (x – 5 ) ]2 = ( 11 –  x )2

Eliminamos el radical al cuadrado; recordemos que  (a – b)= a– 2ab + b:

x – 5 = 121 –  22x + x2

Obtenemos una ecuación de segundo grado (cuadrática):

x2 – 23x + 126 = 0

Al resolver la ecuación, obtenemos dos posibles soluciones:

x = [ – b ± √(b2 – 4ac) ] / 2a

Con a = 1, b = -23, c = 126:

 x = { 23 ± √[ ( – 23)2 – 4(1)(126) ] } / 2a

x1 = [ 23 + √ ( 529 – 504 ) ]  / 2 =  ( 23 + √25 ) / 2 = ( 23 + 5 ) / 2 = 28 / 2 = 14

x2 = [ 23 – √ ( 529 – 504 ) ]  / 2 =  ( 23 – √25 ) / 2 = ( 23 – 5 ) / 2 = 18 / 2 = 9

Al sustituir x1 = 14 en la ecuación original para evaluar si es una raíz extraña o no, comprobamos que √ [ 2 + √ (14 – 5 ) ] ≠ √ (13 – 14), no se cumple. Por tanto:

x1 = 14 es una raíz extraña

Ahora, al sustituir x2 = 9 en la ecuación original para evaluar si es una raíz extraña o no, comprobamos que √ [ 2 + √ (9 – 5 ) ] = √ (9 – 14), es correcta. Por tanto:

Solución: x = 31