Coeficiente binomial

Dado un conjunto x con n elementos, el número de subconjuntos de x que tienen r elementos es el coeficiente binomial de n en r y se denota como:

La expresión anterior también se puede escribir como C(n,r) o ⁿC_r. El coeficiente binomial indica el número de formas en que se puede seleccionar un subconjunto no ordenado de tamaño r de un conjunto de tamaño n.

El coeficiente binomial se puede calcular mediante la siguiente expresión:

La fórmula anterior utiliza la notación factorial «!»; para cualquier número entero positivo n, su factorial  n! es:

n! = n × (n – 1) × (n – 2) … × 3 × 2 × 1

Además, 0! = 1.

Propiedades

• ⁿC_r + ⁿC_r+1 = ⁿ⁺¹C_r+1
• ⁿC₀ +   ⁿC₁ + ⁿC₂ + … + ⁿC_n = 2ⁿ
• ⁿC₀ +   ⁿC₁ + ⁿC₂ + … +(-1)^{n n}C_n = 0
• ⁿC₀ +   ⁿC₂ + ⁿC₄ + ⁿC₆ + …  = 2^n-1
• ⁿC₀ +   ⁿC₃ + ⁿC₅ + ⁿC₇ + …  = 2^n-1
• ⁿC_n –    ⁿ⁺¹C₁ + ⁿ⁺²C₂  – … + ^n+mC_n = ^n+m+1C_n+1  
• ⁿC_n –    (ⁿC₁)² + (ⁿC₂)²  – … + (ⁿC_n)² = 2ⁿC_n  
• ⁿC₁ +   2·ⁿC₂ + 3·ⁿC₃ + … + n·ⁿC_n = n·2^n-1
• ⁿC₀ – 2·ⁿC₁ + 3·ⁿC₂ + … + (-1)ⁿ⁺¹ · ⁿC_n = 0

Ejemplo: Determine los valores de ¹⁰C₄ y ³⁰C₁₈.

Sabemos que:

ⁿC_r = n! / [ (n – r)! ∙ r! ]

Por lo tanto:

• ¹⁰C₄ = 10! / [ (10 – 4)! ∙ 4! ] = 10! / [ 6! ∙ 4! ] = 210
• ³⁰C₁₈ = 30! / [ (30 – 18)! ∙ 18! ] = 30! / [ 12! ∙ 18! ] = 8,6 x 10⁷