Área de un triángulo usando trigonometría

triánguloEn general, un triángulo es una figura geométrica de tres lados. Éstos pueden ser representarlos con una letra mayúscula, los ángulos con una letra minúscula y los vértices con las mismas letras anteriores o con letras griegas.

Para calcular su área, podemos utilizar la fórmula A = ½ (Base · Altura). Sin embargo, existen otros procedimientos, entre ellos se encuentra el trigonométrico cuya aplicación dependerá de si conocemos las longitudes de dos de sus lados junto al ángulo que forman.

Definición

áreatriánguloEl área de un triángulo es la medida de la superficie encerrada por los tres lados del triángulo. Para calcularla generalmente utilizamos la fórmula:

A = (base · altura) / 2

Es decir, el área es igual a la base por la altura del triángulo dividido entre 2. Donde la altura “h” es el segmento perpendicular desde un vértice a la recta que contiene al lado opuesto.

Calculo del área conociendo dos lados y el ángulo que forman

areatriangulotrigonometría1Ésta se conoce como la forma trigonometría; supongamos que tenemos un triángulo (como el de la derecha) del cual conocemos dos lados y el ángulo que éstos forman. Para calcular su área nos valemos de la fórmula A = (b · h) / 2, por lo tanto, debemos determinar la altura del mismo.

De la figura obtenemos:

sin C = h / a

Despejando h:

h = a · sin C

Sustituyendo en la fórmula del área:

A = [(b · a) sin C] / 2

Ejemplos

1. Calcular el área del triángulo cuyos dos lados miden 12 cm y 20 cm y el ángulo que éstos forman es de 60 ⁰.

Sea a = 12 cm, b = 20 cm y C = 60 ⁰, entonces:

A = [(b · a) sin C] / 2 = [(20 cm · 12 cm)( sin 60 ⁰)] / 2 =

   = (207,8 cm²) / 2 =

   = 103,9 cm²

2. Calcular el área del triángulo cuyos dos lados miden 18 cm y 25 cm y el ángulo que éstos forman es de 30 ⁰.

Sea a = 18 cm, b = 25 cm y C = 30 ⁰, entonces:

A = [(b · a) sin C] / 2 = [(25 cm · 10 cm)( sin 30 ⁰)] / 2 =

   = (2250 cm²) / 2 =

   = 1125 cm²