Área de un triángulo

En general, un triángulo es una figura geométrica de tres lados. Éstos pueden ser representarlos con una letra mayúscula, los ángulos con una letra minúscula y los vértices con las mismas letras anteriores o con letras griegas.

Para calcular su área, podemos utilizar la fórmula A = ½ (Base · Altura). Sin embargo, existen otros procedimientos, cuya aplicación dependerá de si conocemos la longitudes de sus tres lados (Fórmula de Herón) o de dos junto al ángulo que forman.

Definición

El área de un triángulo es la medida de la superficie encerrada por los tres lados del triángulo.

Fórmula del área del triángulo

 Fórmula clásica

Es igual a la base por la altura del triángulo dividido entre 2:

A = (b · h) / 2

La altura es el segmento perpendicular desde un vértice a la recta que contiene al lado opuesto.

• Triángulo equilátero:

h = (√3 / 2) · l

A = (√3  · l²) / 4

• Triángulo rectángulo:

A = (b  · c) / 2

Es decir, es igual al producto de los catetos dividido entre .

Ejemplo 1: Hallar el área del triángulo cuya base mide 2 cm y su altura3 cm.

Haciendo uso de la fórmula del área del triángulo:

A = (b  · c) / 2 = (2 cm · 3 cm) / 2) = 6 / 2 = 3 cm²

Ejemplo 2: Hallar el área del triángulo equilátero cuyos lados miden 1.

Haciendo uso de la fórmula del área del triángulo equilátero:

A = (√3  · l²) / 4 = [√3  · (1 cm)²] / 4 = 0, 43 cm²

Fórmula de Herón

Ésta se le atribuye al matemático griego, Herón de Alejandría. Con ella podemos calcular el área del triángulo conociendo las longitudes de sus tres lados a, b y c.

A = √[s(s – a)(s – b)(s – c)]

Donde s es el semiperímetro (la mitad del perímetro, es decir, la mitad de la suma de las longitudes de sus lados) del triángulo:

s = (a + b + c) / 2

Ejemplo: Hallar el área del triángulo cuyos lados miden 5 cm, 3 cm y 2 cm.

Sea a = 5 cm, b = 3 cm y c = 2 cm; calculamos primero su semiperímetro:

s = (a + b + c) / 2 = (5 cm + 3 cm + 2 cm) / 2 =

   = 10 / 2 = 5 cm

Ahora, aplicando la fórmula de Herón A = √ [s(s – a)(s – b)(s – c)], tenemos:

A = √ [10 cm (10 cm – 5 cm)(10 cm – 3 cm)(10 cm – 2 cm)]

   = √ [10 cm (5 cm)(7 cm)(8 cm)] =

   = √ [10 cm (280 cm⁴)]

   = √ (2800 cm⁵)

   = 52,92 cm²

Conociendo dos lados y el ángulo que forman

Si conocemos dos lados y el ángulo que éstos forman, podemos utilizar la siguiente fórmula:

A = [(b · a) sin C] / 2

Ejemplo: Calcular el área del triángulo cuyos dos lados miden 12 cm y 20 cm y el ángulo que éstos forman es de 60⁰.

Sea a = 12 cm, b = 20 cm y C = 60 ⁰, entonces:

A = [(b · a) sin C] / 2 = [(20 cm · 12 cm)( sin 60 ⁰)] / 2 =

   = (207,8 cm²) / 2 =

   = 103,9 cm²