Resolviendo ecuaciones cuadráticas
Generalmente, para encontrar la solución de una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 utilizamos la fórmula cuadrática, sin embargo, existe otra forma para resolverla: el método de factorización.
Resolución de ecuaciones cuadráticas por el método de la factorización
Existen dos formas:
- Sacamos factor común de x y luego buscamos los dos valores de ésta. Ésta se utiliza cuando c = 0.
- Convertimos la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, buscamos el valor de x de cada uno de ellos. Para ello,debemos encontrar dos números cuyo producto sea igual a «c» y cuya suma sea igual a b. A éste método se le denomina factorización simple.
Ejemplos
1. Resolver la siguiente ecuación cuadrática x² + 3x = 0
Veamos que c = 0, por lo tanto, sacamos factor común de x:
x(x + 3) = 0
Para que esto sea cierto, “x = 0” y “x + 3 = 0”. Por lo tanto, nuestra primera raíz de la ecuación es:
x1 = 0
Ahora,
x + 3 = 0
despejando x:
x = – 3
Por lo tanto:
x2 = – 3
En consecuencia, las raíces de la ecuación son x1 = 0 y x2 = – 3; si sustituimos una de ellas en la ecuación original comprobamos que es solución:
Para x = 0:
x² + 3x = 0
(0)² + 3(0) = 0
0 = 0
Para x = – 3:
(-3)² + 3(-3) = 0
9 – 9 = 0
0 = 0
2. Resolver la siguiente ecuación cuadrática 6x² + 4x = 0
Veamos que c = 0, por lo tanto, sacamos factor común de x:
2x(3x + 2) = 0
Para que esto sea cierto, “2x = 0” y “3x + 2 = 0”. Por lo tanto, nuestra primera raíz de la ecuación es:
2x1 = 0
x1 = 0 / 2
x1 = 0
Ahora,
3x + 2 = 0
despejando x:
3x = – 2
x = – 2/3
Por lo tanto:
x2 = – 2/3
En consecuencia, las raíces de la ecuación son x1 = 0 y x2 = – 2/3; si sustituimos una de ellas en la ecuación original comprobamos que es solución:
Para x = 0:
6x² + 4x = 0
6(0)² + 4(0) = 0
0 = 0
Para x = – 2/3:
6(- 2/3)² + 4(- 2/3) = 0
6(4/9) – 8/3 = 0
8/3 – 8/3 = 0
0 = 0
3. Resolver la siguiente ecuación cuadrática x² + x – 6 = 0
Convertimos la ecuación cuadrática en un producto de binomios:
(x + α)(x + β) = 0
Debemos buscar dos números α y β que al multiplicarlos den el valor de c y que al sumarlos sean igual a b. En este caso, dos números cuyo producto sea – 6 y cuya suma sea 1:
(x + 3)(x – 2) = 0
Ya que 3·(-2) = -6 y 3 + (-2) = 1
Ahora, para que lo anterior sea cierto, “(x + 3) = 0” y “(x – 2)” = 0. Por lo tanto, nuestra primera raíz de la ecuación es:
x + 3 = 0
x = 0 – 3
x1 = – 3
Ahora,
x – 2 = 0
x = 0 + 2
x2 = 2
En consecuencia, las raíces de la ecuación son x1 = – 3 y x2 = 2; si sustituimos cada una de ellas (por separado) en la ecuación original, comprobaremos que son solución.
4. Resolver la siguiente ecuación cuadrática x² + 6 = 7x
Ordenamos la ecuación:
x² – 7x + 6 = 0
Convertimos la ecuación cuadrática en un producto de binomios:
(x + α)(x + β) = 0
Debemos buscar dos números α y β cuyo producto sea 6 y su suma sea – 7:
(x – 6)(x – 7) = 0
Ya que (- 6)·(-1) = 6 y (- 6) + (- 1) = – 7
Ahora, para que lo anterior sea cierto, “(x – 6) = 0” y “(x – 7)” = 0. Por lo tanto, nuestra primera raíz de la ecuación es:
x – 6 = 0
x = 0 + 6
x1 = 6
Ahora,
x – 7 = 0
x = 0 + 7
x2 = 7
En consecuencia, las raíces de la ecuación son x1 = 6 y x2 = 7; si sustituimos cada una de ellas (por separado) en la ecuación original, comprobaremos que son solución.
