Vectores ortogonales

Supongamos que tenemos dos vectores A y B, si ambos están separados por un ángulo θ, podemos determinar el valor de éste último mediante la fórmula:

Si los vectores son perpendiculares entre sí, es decir, θ = π/2, entonces:

De aquí que:

En consecuencia dos vectores son perpendiculares u ortogonales si forman un ángulo recto (θ = π/2) y por ende, su producto escalar es cero.

Definición

Cuando dos vectores A = (A_x, A_y, A_z) y B = (B_x, B_y, B_z) son perpendiculares entre sí, es decir, forman un ángulo recto (θ = π/2), se dice que son vectores ortogonales. Esta situación se denota como A ⊥ B. Dos vectores serán ortogonales cuando su producto escalar (también llamado producto punto y producto interno) es cero:

A ⊥ B            →         A · B = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z

O

A ⊥ B            →         θ = π/2           →          A ∙ B = |A| |B| cosθ = 0

Ya que   cos (π/2) = 0.

Cuando dos vectores de A y B son ortogonales, forman un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa es igual a la suma de los vectores.

Ejercicios

1. Determinar si los vectores A = (1, 2) y B = (-2, 1) son ortogonales.

Ambos serán ortogonales si su producto escalar es cero, es decir:

A · B = A_xB_x + A_yB_y = 0

Como A = (1, 2) y B = (-2, 1) , entonces:

A · B = (1)(-2) + (2)(1) = 0

Ambos vectores son ortogonales.

2. Determinar si los vectores A = (2, 4, 5) y B = (-2, 3, 7) son perpendiculares.

Ambos serán ortogonales si su producto escalar es cero, es decir:

A · B = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z  = 0

Como A = (2, 4, 5) y B = (-2, 3, 7), entonces:

A · B = (2)(-2) + (4)(3) + (5)(7) = -4 + 12 + 35 = 43

Ambos vectores no son ortogonales.

3. Determinar si los vectores A = (2, -3, -1) y B = (-5, -10/3, 0)  son perpendiculares.

Ambos serán perpendiculares si el producto escalar de ambos es cero, es decir:

A · B = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z  = 0

Por lo tanto:

A · B = (2)(-5) + (-3)(-10/3) + (-1)(0) = -10 + 10 + 0 = 0

Ambos vectores son perpendiculares.

4. Dados los vectores A = (2, a) y B = (3, -2), calcular a para que ambos vectores sean ortogonales.

Para que ambos vectores sean ortogonales el producto escalar de ambos debe ser cero, es decir:

A · B = A_xB_x + A_yB_y = 0

Por lo tanto:

A · B = (2)(3) + (a)(-2) = 0

6 – 2a = 0

6 = 2a

6/2 = a

a = 3