Vectores negativos

Un vector es una cantidad que tiene una longitud (un número real no negativo), así como dirección y un sentido. Un vector representa la magnitud y orientación de una cantidad física.

vectores opuestosDos vectores A y B son iguales cuando tienen la misma magnitud, la misma dirección y el mismo sentido; son negativos (u opuestos) cuando tienen la misma magnitud (módulo) y dirección, pero sentido contrario. Podemos realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y división con estos vectores negativos.

Definición

Sean A y B dos vectores; diremos que B es el vector negativo u opuesto a A si tiene la misma magnitud y dirección, pero sentido contrario:

A = – B

Veamos que si comparamos B con A, ambos tienen la misma magnitud (o módulo) y dirección, pero sentido opuesto.

Se llama vector negativo (u opuesto) de A, al vector B que tiene la misma magnitud (módulo) y la misma dirección, pero sentido opuesto.

Ejercicios

  1. Determine el vector negativo (u opuesto) a los siguientes vectores: A = (3, -5) y B = (1, 6).

Sea a el vector negativo a A, por lo tanto:

a = – A

Es decir:

a = – (3, -5) = (-3, 5)

De forma análoga, sea b el vector negativo a B, por lo tanto:

b = – B

Es decir:

b = – (1, 6) = (-1, -6)

  1. Dado que los puntos extremos de dos vectores son A(2, 3), B(4, -7), C(10,-8), D(8,2). Demostrar que los vectores AB y CD son negativos (u opuestos) uno del otro.

Sabemos que AB y CD son vectores negativos (u opuestos) uno del otro, si:

  • Tienen la misma magnitud (módulo).
  • Tienen la misma dirección.
  • Tienen sentido opuesto.

Cálculo de los módulos de ambos vectores:

Tenemos dos puntos A(2, 3) y B(4, -7)que corresponden a los extremos del vector AB; haciendo uso de la fórmula para determinar magnitud de un vector, tenemos:

|AB| = √ [ (Bx – Ax )2 + (By – Ay)2 ] = √ [ (4 – 2)2 + (-7 – 3)2 ]  =

= √ [ (2)2 + (-10)2  ] =

= √ (4 + 100) =

= √104

Ahora, también tenemos dos puntos C(10,-8) y D(8,2) que corresponden a los extremos del vector CD; tenemos:

|CD| =  √ [ (8 – 10)2 + (2 + 8)2 ]  =

= √ [ (-2)2 + (10)2  ] =

= √ (4 + 100) =

= √104

En consecuencia:

|AB| = |CD|

Ahora, calculamos las pendientes de los vectores; si estas iguales, entonces, se cumple que AB y CD tiene la misma dirección:

mAB = [ (By – Ay) / (Bx – Ax) ] = [ (-7 – 3) / (4 – 2) ] = – 10 / 2 = – 5

mCD = [ (Dy – Cy) / (Dx – Cx) ] = [ (2 + 8) / (8  – 10) ] = 10 / – 2 = – 5

Para, comprobar que tienen sentido opuestos, analizamos sus componentes x e y:

AB = (Bx – Ax, By – Ay) = (2, -10)

CD = (Dx – Cx, Dy – Cy) = (-2,10)

De aquí vemos que:

AB = – CD

Por lo tanto, ambos vectores son vectores negativos uno con respecto al otro.

vectores negativos