Un vector es una cantidad que tiene una longitud (un número real no negativo), así como dirección y un sentido. Un vector representa la magnitud y orientación de una cantidad física.
Dos vectores A y B son iguales cuando tienen la misma magnitud, la misma dirección y el mismo sentido; son negativos (u opuestos) cuando tienen la misma magnitud (módulo) y dirección, pero sentido contrario. Podemos realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y división con estos vectores negativos.
Definición
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Sean A y B dos vectores; diremos que B es el vector negativo u opuesto a A si tiene la misma magnitud y dirección, pero sentido contrario:
A = – B
Veamos que si comparamos B con A, ambos tienen la misma magnitud (o módulo) y dirección, pero sentido opuesto.
Se llama vector negativo (u opuesto) de A, al vector B que tiene la misma magnitud (módulo) y la misma dirección, pero sentido opuesto.
Ejercicios
- Determine el vector negativo (u opuesto) a los siguientes vectores: A = (3, -5) y B = (1, 6).
Sea a el vector negativo a A, por lo tanto:
a = – A
Es decir:
a = – (3, -5) = (-3, 5)
De forma análoga, sea b el vector negativo a B, por lo tanto:
b = – B
Es decir:
b = – (1, 6) = (-1, -6)
- Dado que los puntos extremos de dos vectores son A(2, 3), B(4, -7), C(10,-8), D(8,2). Demostrar que los vectores AB y CD son negativos (u opuestos) uno del otro.
Sabemos que AB y CD son vectores negativos (u opuestos) uno del otro, si:
- Tienen la misma magnitud (módulo).
- Tienen la misma dirección.
- Tienen sentido opuesto.
Cálculo de los módulos de ambos vectores:
Tenemos dos puntos A(2, 3) y B(4, -7)que corresponden a los extremos del vector AB; haciendo uso de la fórmula para determinar magnitud de un vector, tenemos:
|AB| = √ [ (Bx – Ax )2 + (By – Ay)2 ] = √ [ (4 – 2)2 + (-7 – 3)2 ] =
= √ [ (2)2 + (-10)2 ] =
= √ (4 + 100) =
= √104
Ahora, también tenemos dos puntos C(10,-8) y D(8,2) que corresponden a los extremos del vector CD; tenemos:
|CD| = √ [ (8 – 10)2 + (2 + 8)2 ] =
= √ [ (-2)2 + (10)2 ] =
= √ (4 + 100) =
= √104
En consecuencia:
|AB| = |CD|
Ahora, calculamos las pendientes de los vectores; si estas iguales, entonces, se cumple que AB y CD tiene la misma dirección:
mAB = [ (By – Ay) / (Bx – Ax) ] = [ (-7 – 3) / (4 – 2) ] = – 10 / 2 = – 5
mCD = [ (Dy – Cy) / (Dx – Cx) ] = [ (2 + 8) / (8 – 10) ] = 10 / – 2 = – 5
Para, comprobar que tienen sentido opuestos, analizamos sus componentes x e y:
AB = (Bx – Ax, By – Ay) = (2, -10)
CD = (Dx – Cx, Dy – Cy) = (-2,10)
De aquí vemos que:
AB = – CD
Por lo tanto, ambos vectores son vectores negativos uno con respecto al otro.
