Valor absoluto

El valor absoluto representa la distancia desde el origen o cero de una recta numérica hasta un número o un punto. Geométricamente los valores absolutos de |x| son números reales de x y es un valor geométrico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 5 es el valor absoluto de +5 y de -5. Los valores absolutos están representados por dos líneas verticales, tales como |x| (el cual se lee como módulo de x).

El valor absoluto se representa como |A| , donde A es el número cuyo valor absoluto tiene que ser determinado.

Tabla de contenidos

Definición

El valor absoluto se define como:

|x| = x si x ≥ 0
|x| = -x si x < 0

Definiciones equivalentes

Si a es un número real, su valor absoluto es un número real no negativo definido de las dos siguientes maneras:

|x| = √(x²)
|x| es igual al máximo de { x, -x }

Propiedades

Propiedades fundamentales

|x| > 0 No negatividad
|x| = 0 ↔ x = 0 Definición positiva
|x∙y| = |x|∙|y| Propiedad multiplicativa
|x + y| ≤ |x| + |y| Desigualdad triangular

Otras propiedades

|-x| = |x| Simetría
|a – b| = 0 ↔ a = b Identidad de indiscernibles
|a – b| ≤ |a – c| + |c – b| Desigualdad triangular
|a – b| ≥ |(|a| – |b|)| (equivalente a la propiedad aditiva)
|x ÷ y|= |x| ÷ |y| si b ≠ 0 Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)

Valor absoluto de un número real

Para todos los números reales los valores absolutos “x” satisfacen las siguientes condiciones:

|x| = x ; si x ≥ 0
|x| = -x ; si x < 0

En una recta numérica, las representaciones de los valores absolutos de un número real es la distancia entre número y el cero u origen. Por ejemplo, |3| es la distancia de tres unidades al cero.

Tanto 3 y -3 son las distancias de dos unidades desde el cero. |3| = |-3| = 3. En matemática, la medición de cualquier distancia siempre es un valor no negativo.

El valor absoluto de un número real x, es siempre positivo o cero, pero nunca negativo.