Teorema del binomio

Una expresión algebraica que contiene dos términos se denomina expresión binomial. La forma general de una expresión binomial es (x + y)  y la expansión (x + y)n se le denominada teorema del binomio.

Definición

El teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdo con el teorema, es posible calcular la potencia (x + y)n para cualquier número entero positivo utilizando:

ecuacion1

Donde ecuacion2es el coeficiente binomial.

Otra forma de expresar lo anterior es:

(x + y)n = nCoxny0 + nC1xn-1y1 + … + nCrxn-ryr + … + nCn-1x1yn-1 + nCnx0yn

Donde la expresión nCr  es equivalente a y se calcula por la fórmula combinatoria:

nCr = n! / [(n – r)! r!]

Ejemplo: Desarrolle (a + b)4

ecuacion3

¿CÓMO ENCONTRAR EL TÉRMINO N-ÉSIMO?

Supongamos que deseamos encontrar el coeficiente de x40 en la expansión de (1 + 2x + x2)27; podemos realizar la expansión (x + y)n y luego localizar el término requerido, pero como n = 40 la tarea puede resultar tediosa. Por ello vamos a seguir una serie de pasos para encontrar el coeficiente de x40 requerido así como cualquier otro particular:

  1. Encontrar el termino general T(r+1) en la expansión de (a + b) n.

La expansión es (1 + 2x + x2)27 = [ (1 + x)2 ]27 = (1+x)54

ecuacion4

 El término T(r+1)  será:

ecuacion5

  1. Asumir que T(r+1) es el término particular deseado.

Sea T(r+1)  el término que contiene x40.

  1. Encontrar el valor de r.

Según el paso 2: r = 40

  1. Colocar el valor de r en el término T(r+1); con esto determinamos el termino particular requerido.

ecuacion6

Por lo tanto, el coeficiente de x40 será:  54! / [(54 – 40)! 40!] = 3,25 x 1012