Una expresión algebraica que contiene dos términos se denomina expresión binomial. La forma general de una expresión binomial es (x + y) y la expansión (x + y)n se le denominada teorema del binomio.
Definición
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El teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdo con el teorema, es posible calcular la potencia (x + y)n para cualquier número entero positivo utilizando:
Donde 
es el coeficiente binomial.
Otra forma de expresar lo anterior es:
(x + y)n = nCoxny0 + nC1xn-1y1 + … + nCrxn-ryr + … + nCn-1x1yn-1 + nCnx0yn
Donde la expresión nCr es equivalente a y se calcula por la fórmula combinatoria:
nCr = n! / [(n – r)! r!]
Ejemplo: Desarrolle (a + b)4
¿CÓMO ENCONTRAR EL TÉRMINO N-ÉSIMO?
Supongamos que deseamos encontrar el coeficiente de x40 en la expansión de (1 + 2x + x2)27; podemos realizar la expansión (x + y)n y luego localizar el término requerido, pero como n = 40 la tarea puede resultar tediosa. Por ello vamos a seguir una serie de pasos para encontrar el coeficiente de x40 requerido así como cualquier otro particular:
- Encontrar el termino general T(r+1) en la expansión de (a + b) n.
La expansión es (1 + 2x + x2)27 = [ (1 + x)2 ]27 = (1+x)54
El término T(r+1) será:
- Asumir que T(r+1) es el término particular deseado.
Sea T(r+1) el término que contiene x40.
- Encontrar el valor de r.
Según el paso 2: r = 40
- Colocar el valor de r en el término T(r+1); con esto determinamos el termino particular requerido.
Por lo tanto, el coeficiente de x40 será: 54! / [(54 – 40)! 40!] = 3,25 x 1012
