Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras fue uno de los primeros teoremas conocidos por las civilizaciones antiguas y es sin lugar a dudas uno de los más conocidos de la historia de la matemática; además, es el que cuenta con el mayor número de demostraciones realizadas por numerosos filósofos y matemáticos. Durante la Edad Media, un conocimiento profundo del mismo y el desarrollo de una nueva y original demostración, eran requisitos fundamentales para alcanzar el título de Magister matheseos (“Maestro de matemáticas”). Es por ello que algunos historiadores señalan que existen más de mil formas diferentes de demostrar este teorema.

Tabla de contenidos

Una breve historia del Teorema de Pitágoras

El teorema se le atribuye al filósofo y matemático griego Pitágoras, aunque no se sabe si es el autor efectivo. Se tienen pruebas que los babilonios poseían algún conocimiento del mismo (o al menos de enteros especiales conocidos como ternas pitagóricas que lo integran) al menos un milenio antes. Del mismo modo, en el Zhoubi Suanjing (El clásico matemático de la sombra de Zhou), uno de los textos de matemática china más antiguos de la historia, y que fue escrito entre el 500 y 300 a.C, contiene una de las primeras pruebas escritas del teorema.

Sin embargo, fueron los pitagóricos quienes enunciaron una demostración formal del teorema y por ello, el nombre en su honor.

Definición del teorema de Pitágoras

El teorema se enuncia de la siguiente manera:

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Si a y b son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo y c es la longitud de la hipotenusa, entonces se cumple la siguiente relación:

$\LARGE \mathbf{c^{2}=a^{2}+b^{2}}$
El teorema de Pitágoras solo es válido para triángulos rectángulos.

Geométricamente, el teorema de Pitágoras establece que si en un triángulo rectángulo con lados a, b y c (donde c es la hipotenusa) se construyen tres cuadrados cuyo uno de los lados son los lados del triángulo, tal como se muestra en la Figura 1, entonces, la suma de los dos cuadrados pequeños es igual al área del más grande.

Demostración geométrica del teorema del Pitágoras

Figura 1. La interpretación geométrica del teorema de Pitágoras establece que el área del cuadrado azul más el área del cuadrado amarillo es igual al área del cuadrado rojo.

En la Figura 2 se muestra un caso específico: las áreas de los dos cuadrados más pequeños son 9 y 16, y el área del cuadrado más grande es 25.

Figura 2.

Comprobación del teorema de Pitágoras

El siguiente cuadrado está formado por cuatro triángulos rectángulos iguales, de catetos de longitud a y b, y de hipotenusa c, y un cuadrado de lado c.

Queremos demostrar el teorema de Pitágoras.

1. El área del cuadrado grande de lado a+b es:

$\LARGE A_{cuadrado\hspace*{0.2em}grande}=\left ( a+b \right )^{2}$

2. El área del cuadrado pequeño (inclinado) es:

$\LARGE A_{cuadrado\hspace*{0.2em}inclinado}= c^{2}$

3. Hay cuatro triángulos, cada uno con área:

$\LARGE A_{triangulo}=\frac{1}{2}ab$

Así que los cuatro juntos son:

$\LARGE A_{triangulos}=4(\frac{1}{2}ab)=2ab$

De la Figura 3 podemos ver que el área del cuadrado grande es igual al área del cuadrado inclinado y los cuatro triángulos. Es decir:

$\LARGE A_{cuadrado\hspace{0.2em}grande}=c^{2}+2ab$

Igualando con la ecuación 1, tenemos:

$\LARGE \left ( a+b \right )^{2}=c^{2}+2ab$

Desarrollamos el producto notable de la izquierda:

$\LARGE a^{2}+2ab+b^{2}=c^{2}+2ab$

Restamos 2ab de ambos lados:

$\LARGE a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Que es lo que queríamos comprobar.

Ahora veamos algunos ejemplos del teorema de Pitágoras.

Problemas y Ejercicios del teorema de Pitágoras

Usando el teorema de Pitágoras, encontrar el valor de la hipotenusa del siguiente triángulo rectángulo.

Sustituimos a y b por los valores conocidos en la fórmula del teorema de Pitágoras y realizamos la operación:

$\large \begin{align*} c^{2}&=6^{2}+8^{2} \\ c^{2}&=36+64 \\ c^{2}&=100 \\ c&=\sqrt{100}\\ c&=10 \end{align*}$ Considera el siguiente triángulo:

Encuentra la longitud del lado b, sabiendo que a=5 y c=13.

Es un triángulo rectángulo, por lo que sustituimos a y b por los valores conocidos en la fórmula del teorema de Pitágoras y realizamos la operación:
$\large 3^{2}=5^{2}+b^{2}\\169=25+b^{2}$
Despejamos b:
$\large \begin{align*} b^{2}&=169-25 \\ b^{2}&=144 \\ b&=\sqrt{144}\\ b&=12 \end{align*}$

¿Cuál será la longitud de una escalera si está apoyada en la pared a una distancia de 15 m y alcanza una altura de 30 m?

Sabemos que a=30m y b=15m, por lo tanto:

$\large c^{2}=30^{2}+15^{2}\\c^{2}=900+225\\c^{2}=1125\\c=\sqrt{1125}\\c=33,54$

La escalera tiene una longitud de 33,54 m.

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