Simplificación de fracciones

En forma general, una fracción es el cociente de dos expresiones algebraicas

a / b con b ≠0

En la cual el numerador representa el dividendo y el denominador el divisor. Así, 4/8 representa el cociente de una división en la cual el numerador 4 es el dividendo y 8 el divisor. Normalmente las fracciones necesitan ser simplificadas, es decir, transformadas en una fracción equivalente más simple. Ejemplo: 4/8 » 1/2. En la simplificación de fracciones se divide el numerador y denominador por un mismo factor en común.

Definición

Simplificar una fracción es convertirla en una fracción equivalente cuyos términos sean primos entre sí. Cuando esto ocurre, la fracción es irreducible y entonces está en su más simple expresión o a su mínima expresión.

Cómo simplificar una fracción

1.    Cuando los términos de la fracción son monomios

Se dividen el numerador y el denominador por sus factores comunes hasta que sean primos entre sí. Ejemplo: Simplificar la siguiente fracción: (2a) / (8a²b).

Dividimos el numerador y el denominador entre 2a:

(2a ÷ 2a) / (8a²b ÷ 2a) = (1∙1) / (4∙a∙b) = 1 / 4ab

Como 1 y 4ab no tienen ningún factor en común, esta fracción es irreducible.

2.    Cuando los términos de la fracción son polinomios

Se descomponen en factores los polinomios todo lo posible y se suprimen los factores comunes al numerador y denominador. Ejemplo: Simplificar la siguiente fracción: 3ab / (2a²x + 2a³).

• Factorizamos el denominador:

3ab / (2a²x + 2a³) = 3ab / [2a² (x + a)]

• Dividimos el numerador y denominador entre a:

(3ab ÷ a) / (2a²(x + a) ÷ a) = 3b / [2a(x + a²)]

Por lo tanto:

3ab / (2a²x + 2a³) = 3b / [2a(x + a²)]

Como 3b y 2a(x + a²) no tienen ningún factor en común, esta fracción es irreducible.

Ejercicios

1. Simplificar o reducir a su más simple expresión:

a) (ax³) / (4x⁵y)

b) (6x²y³) / 3x

c) (x² – y²) / (x² + 2xy + y²)

d) (x² + y²) / (x⁴ – y⁴)

a) Debemos simplificar una fracción cuyos términos son monomios, por lo tanto, dividimos el numerador y denominador entre x³.

(ax³) / (4x⁵y) = (ax³ ÷ x³) / (4x⁵y ÷ x³) = a / 4x²y

La fracción está en su mínima expresión.

b) Los términos de esta fracción también son monomios; dividimos el numerador y denominador entre 3x.

(6x²y³) / 3x = (6x²y³ ÷ 3x) / (3x ÷ 3x) = 2xy³ / 1

Observemos que al simplificar desaparecieron todos los factores del denominador, queda en éste 1, que puede suprimirse. El resultado es una expresión entera:

(6x²y³) / 3x = 2xy³

La fracción está en su mínima expresión.

c) Debemos simplificar una fracción cuyos términos son polinomios. Considerando que:

x² – y² = (x + y)(x – y)

x² + 2xy + y² = (x + y)(x + y)

Por lo tanto:

(x² – y²) / (x² + 2xy + y²) = [(x + y)(x – y) ] / [(x + y)(x + y) ] = (x – y) / (x + y)

La fracción está en su mínima expresión.

d) Al igual que la fracción anterior, los términos de ésta son polinomios. Considerando que:

x² – y² = (x + y)(x – y)

Tenemos que:

(x² + y²) / (x⁴ – y⁴) = [x² + y² ] / [ (x² + y²)( x² – y²) ] = 1 / ( x² – y² )

La fracción está en su mínima expresión.