Polinomios de tercer grado

La expresión algebraica P(x) = a₃ x³ + a₂ x² + a₁ x + a₀ se le denomina polinomio de tercer grado. Donde  es la variable o incógnita (no determinada o desconocida) y a₃, a₂, a₁, a₀ números a los que se le denominan coeficientes o constantes, donde a₃ ≠ 0.

Lo que hace que estos polinomios sean de tercer grado o cúbicos, es que la variable aparece elevada al exponente 3, siendo éste su exponente máximo. Por ejemplo, el polinomio 4x³ + 2x² + 3x +1 es un polinomio cúbico y x² + 3x +1, no lo es; éste es un polinomio cuadrático (o de segundo grado) ya que su exponente o grado máximo es 2.

Operaciones con polinomios de tercer grado

Suma y resta

Los polinomios cúbicos (al igual que cualquier otro polinomio de distinto grado) se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes.

Ejemplo: Sea P(x) = 2x³ + 3x² + 2x -1 y Q(x) = 2 + 4x + x³  realizar las siguientes operaciones:  P(x) + Q(x) y P(x) -Q(x).

• P(x) + Q(x).

Si no lo están, se ordenan los polinomios:

P(x) = 2x³ + 3x² + 2x -1

Q(x) = x³ + 4x + 2

Se agrupar los monomios del mismo grado:

P(x) + Q(x) = ( 2x³ + x³ ) + 3x² + ( 2x + 4x ) + ( -1 + 2 )

Se suman los monomios semejantes:

P(x) + Q(x) = 3x³ + 3x² + 6x + 1

También se puede sumar los polinomios escribiéndolos uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar:

• P(x) – Q(x)

Se ordenan los polinomios: Para realizar la resta se debe sumar al minuendo el opuesto del sustraendo, así:

• P(x) = 2x³ + 3x² + 2x -1
• Q(x) = x³ + 4x + 2

Se suma al minuendo  el opuesto del sustraendo :

P(x) + Q(x) = (2x³ + 3x² + 2x -1 ) + [ – (x³ + 4x + 2 ) ] = = 2x³ + 3x² + 2x -1 – x³ – 4x – 2

Se agrupan los monomios del mismo grado:

P(x) + Q(x) = ( 2x³ – x³ ) + 3x² + ( 2x – 4x ) + ( -1 – 2 )

Se suman los monomios semejantes:

P(x) + Q(x) = x³ + 3x² – 2x – 3

Multiplicación

Para la multiplicación se multiplica cada término por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes:

Ejemplo: Sea P(x) = 3x³ – 5x² + x – 6 y Q(x) = -1 + x²  determinar P(x) × Q(x).

Se ordenan los polinomios:

• P(x) = 3x³ – 5x² + x – 6
• Q(x) = x²  – 1

Se multiplica cada monomio de  por todos los elementos de :

P(x) × Q(x) = (3x³ – 5x² + x – 6 )  (x²  – 1 ) = 3x⁵ – 3x³ – 5x⁴ + 5x² + x³ – x – 6x² + 6

Se agrupan los monomios del mismo grado y luego se suman los monomios semejantes:

 P(x) × Q(x) = 3x⁵ – 5x⁴ + ( x³ – 3x³ ) + ( 5x² – 6x² ) – x + 6 = 3x⁵ – 5x⁴  – 2x³ – x² – x + 6

División

Para esta operación se debe tener presente que si  el dividendo y Q  el divisor, el grado de siempre debe ser mayor que , así, si  es un polinomio cúbico,  debe tener un grado menor o igual a .

Para entender la división de polinomios nos valdremos de un ejemplo práctico: Sea P(x) = 2x³ + 2x² –  y Q(x) = x² + 2  determinar P(x) ÷ Q(x). Veamos que  es de grado  y es de mayor grado que , por lo tanto:

Situamos a la izquierda el dividendo . Si el polinomio no está completo, dejamos los espacios en los lugares que correspondan. A la derecha situamos el divisor  dentro de una caja:

Se divide el primer monomio del dividendo (2x³) entre el primer monomio del divisor (x²):

2x³ ÷ x² = 2x 

Se multiplica cada término del divisor  Q(x) por el resultado anterior y se resta del polinomio del dividendo P(x):

Se vuelve a dividir el primer monomio del dividendo (2x²) entre el primer monomio del divisor (x²):

2x² ÷ x² = 2

Se multiplica lo anterior por el divisor  Q(x) y se resta al dividendo:

 El resultado anterior ( – 4x – 8 ) es el resto, porque el grado de este polinomio resultante es menor que el del divisor Q(x) por lo  que no se puede continuar dividiendo. En consecuencia:

2x + 2 es el cociente.

Comprobación

Para comprobar que la división es correcta se debe cumplir:

P(x) = Q(x) × C(x) + R(x)

dividendo = divisor × cociente + resto

Donde C(x) es el cociente y R(x) el resto.

P(x) = ( x² + 2 ) × ( 2x + 2 ) – 4x – 8 = 2x³ + 2x² + 4x + 4 – 4x – 8 = 2x³ + 2x² – 4