Multiplicación de vectores
La multiplicación de dos vectores A y B se realiza de dos formas:
- Como producto escalar, cuyo resultado es un número:
A · B = C ; Donde C ∈ R.
- Como producto vectorial, cuyo resultado es otro vector.
A × B = C
Producto escalar
Sea A = (Ax, Ay, Az) y B = (Bx, By, Bz), el producto escalar (denominado también producto punto o producto interno) de dos vectores se define como:
A · B = AxBx + AyBy + AzBz
Ahora, otra forma de expresar el producto escalar es:
A ∙ B = |A| |B| cosθ
Donde |A| y |B| son los módulos de A y B, y θ es el ángulo entre ambos vectores.
El producto escalar de dos vectores da como resultado un número real.
Ejemplo 1: Determine el producto escalar de A = (2, 4, 6) y B = (-2, 3, 8).
Vemos que para el vector A , 2 es la componente “x”, 4 es “y” y 6 es “z”. Para el vector B, -2 es la componente “x”, 3 “y” y 8 es “z”. El producto escalar será:
A · B = AxBx + AyBy + AzBz = (2)(-2) + (4)(3) + (6)(8) = – 4 + 12 + 48 = 56
Ejemplo 2: Determine el producto escalar de A = (5, 7) y B = (- 1, -3), considerando que el ángulo entre ambos es θ = 60 ⁰.
Vemos que para el vector A, 5 es la componente “x” y 7 es “y”. Para el vector B, -1 es la componente “x” y – 3 es “y”. El producto escalar será:
A ∙ B = |A| |B| cosθ
- Cálculo del módulo de A:
|A|= √ [ (Ax)2 +(Ay)2 ]= √ [ (5)2 +(7)2 ] = √ (25 + 49 ) = √74
- Cálculo del módulo de B:
|B|= √ [ (Bx)2 +(By)2 ]= √ [ (-1)2 +(-3)2 ] = √ (1 + 9 ) = √10
Por lo tanto:
A ∙ B = √74 √10 cos60 ⁰ = (√74 √10)/2= √740 / 2 = 13,60
Producto vectorial
Sea A = (Ax, Ay, Az) y B = (Bx, By, Bz), , el producto vectorial (denominado también producto cruz) de dos vectores se define como:
A × B = (AyBz – AzBy) î + (AxBz – AzBx) ĵ + (AxBy – AyBx) k
Ahora, si multiplicamos las magnitudes de A y B y las multiplicamos por el seno del ángulo que forman ambos vectores (< 180 ⁰), la magnitud del producto vectorial es:
A × B = |A| |B| sinθ
Donde |A| y |B| son los módulos de A y B, y θ es el ángulo entre ambos vectores.
La dirección del vector del producto vectorial se determina por la regla de la mano derecha.
Regla de la mano derecha
Si colocamos la mano derecha de modo que los dedos señalen en dirección de rotación de Donde |A| y |B| son los módulos de A hacia B, por el camino más corto, el dedo pulgar estirado señala la dirección y sentido del vector producto vectorial A × B.
Ejemplo: Determine el producto vectorial de A = (6, 8, 10) y B = (-2, 3, 8):
Vemos que para el vector A , 6 es la componente “x”, 8 es “y” y 10 es “z”. Ahora, para el vector B, -2 es la componente “x”, 3 “y” y 8 es “z”. El producto vectorial será:
A × B = (8·8 – 10·3) î + [6·8 – 10·(-2)] ĵ + [6·3 – 8·(-2)] k =
= (64 – 30) î + (48 + 120) ĵ + (18 + 16) k =
= 34 î + 68 ĵ + 34 k
Determinante del producto vectorial
El producto vectorial se representa de forma compacta por medio de un determinante que para el caso de dimensión 3×3 es:
Ejemplo: Determine el producto vectorial de A = (1, -2, 1) y B = (-1, 3, 1):
Vemos que para el vector A , 1 es la componente “x”, .2 es “y” y 1 es “z”. Ahora, para el vector B, -1 es la componente “x”, 3 “y” y 1 es “z”. El producto vectorial será:
= [(-2)·1 – 1·3)] î + [1·1 – 1·(-1)] ĵ + [1·3 – (-2)·(-1)] k =
= (-2 – 3) î + (1 + 1) ĵ + (3 + 2) k =
= -5 î + 2 ĵ + k
