Ley del paralelogramo

Figura I.

Para sumar dos vectores A y B que forman un ángulo entre sí, se usan dos métodos: el método del triángulo y el método del paralelogramo. El método del paralelogramo, es el método más utilizado; en él se dibujan los dos vectores en el origen de un plano cartesiano, respetando sus magnitudes, direcciones y sentidos. El vector resultante será la diagonal del paralelogramo que inicia en el origen del plano cartesiano (Figura I).

Ley del paralelogramo

Según la ley del paralelogramo, la suma de los cuadrados de los cuatro lados de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de las dos diagonales de éste, es decir:

2[ (AB)² + (CD)² ] = (L₁)² + (L₂)²

Si el paralelogramo es un rectángulo, las diagonales L₁ y L₂ son iguales, por lo tanto, la ley del paralelogramo se reduce al teorema de Pitágoras.

2[ (AB)² + (CD)² ] = 2(L₁)²

[ (AB)² + (CD)² ] = 2(L₁)²

Demostración

Sea ABCD un paralelogramo cuyas diagonales son L₁ y L₂ .  se encuentra en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas.

Supongamos que AB = CD y AD = BC. De la fórmula de la distancia podemos determinar la longitud de L₁ y L₂:

L₁ = √[ (x + x₁)² + y² ] = √[x² + 2xx₁ + (x₁)² + y² ]

L₂ = √[ (x₁  – x)² + y² ] = √[(x₁)² – 2xx₁ + x² + y² ]

Por lo tanto:

(L₁)² + (L₂)² = x² + 2xx₁ + (x₁)² + y² + [(x₁)² – 2xx₁ + x² + y² =

= 2[x² + (x₁)² + y²]

Calculando la longitud de AB y CD, tenemos:

AB = x

CD = √[ (x₁)² + y² ]

Ahora:

2[ (AB)² + (CD)² ] = 2[x² + (x₁)² + y²]

Por lo tanto:

[ (AB)² + (CD)² ] = 2(L₁)²

Ley o método de paralelogramo para vectores

Para suma vectores A y B por el método del paralelogramo:

1. Dibujamos el vector A en el origen de un plano cartesiano respetando su módulo, dirección y sentido.

2. Dibujamos en la cabeza de A, el vector B respetando su módulo, dirección y sentido.

3. Se trazan rectas paralelas a cada vector formando un paralelogramo.

4. El vector resultante será la diagonal del paralelogramo que inicia en el origen del plano cartesiano.