Ecuación de una curva

Una curva es una línea que se desvía de la dirección recta sin formar ángulos. Esto quiere decir que su dirección varía de manera paulatina y constante. Para conocer la ecuación de una curva necesitamos conocer los puntos donde ésta intercepta al eje x, conocidos como raíces.

Ecuación de la curva ax²+bx+c=0

Estas curvas cortan al eje x en dos puntos; éstos nos ayudarán a encontrar la ecuación de la curva. Asumamos que la curva ax²+bx+c=0 corta al eje x en los puntos (α,0) y (β,0). Entonces la ecuación de la curva será:

x² – (α + β)x + αβ = 0

Ecuación de la curva ax³+bx²+cx+d= 0

Estas curvas cortan al eje x en tres puntos; éstos nos ayudarán a encontrar la ecuación de la curva. Asumamos que la curva ax³+bx²+cx+d=0 corta al eje x en los puntos (α,0), (β,0) y (γ,0). Entonces la ecuación de la curva será:

x³ – (α + β + γ) x² + (αβ + βγ + αγ) x – αβγ=0

Ejemplos

• Determinar la ecuación de la curva de grado dos y que intercepta el eje x en los puntos (2,0) y (3,0).

Como la ecuación es de grado 2, entonces la ecuación será:

x² – (α + β)x + αβ = 0

Como α=2 y β=3, tenemos:

x² – (2 + 3)x + (2)(3) = 0

x² – 5x + 6 = 0

• Determinar la ecuación de la curva de grado tres y que intercepta el eje x en los puntos (1,0), (2,0) y (3,0).

Como la ecuación es de grado 3, entonces la ecuación será:

x³ – (α + β + γ) x² + (αβ + βγ + αγ)x – αβγ = 0

Como α=1; β=2 y γ=3, tenemos:

x³ – (1 + 2 + 3)x² + [(1)(2) + (2)(3) + (1)(3)]x – (1)(2)(3) = 0

x³ – 6x² + 11x – 6 = 0

Forma paramétrica de la curva

Supongamos un objeto que se mueve en un plano y, a medida que transcurre el tiempo, representa un camino como el representado en la figura. Las coordenadas x e y de la posición del objeto dependen del instante del tiempo t. Por lo tanto existirán funciones x e y de la variable (o parámetro) t, tales que x=x(t) y y=y(t) Estas dos ecuaciones se le denominan ecuaciones paramétricas de la curva:

• x=x(t)
• y=y(t)

Cada valor de t determina un punto (x,y) en el plano.