Doble producto vectorial

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Sean A = (Ax, Ay, Az), B = (Bx, By, Bz) y C = (Cx, Cy, Cz); el doble producto vectorial, también llamado triple producto vectorial, es la operación que consiste en multiplicar vectorialmente dos vectores A y B, y este resultado multiplicarlo vectorialmente por el tercer vector C, es decir:

A × (B × C)

Escribir el paréntesis es muy importante, ya que obviarlo puede afectar el resultado. El doble producto vectorial da como resultado un vector que se encuentra en el plano de los vectores B × C, es decir, lo que se encuentran entre los paréntesis.

Definición




Si tenemos tres vectores A = (Ax, Ay, Az), B = (Bx, By, Bz) y C = (Cx, Cy, Cz) y relacionamos B × C nos dará un vector, que multiplicado por A origina un nuevo vector:

A × (B × C) = B (A · C) – C (A · B)

al que se le denomina doble producto vectorial o triple producto vectorial.

Propiedades

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Sean A, B y C vectores de R3, entonces:

  1. El vector A × (B × C) es un vector contenido en el plano definido por B y C.
  2. El doble producto vectorial es anti conmutativo y no tiene propiedad asociativa:

A × (B × C) = – C × (A × B) = B (A · C) – C (A · B)

El vector anterior está contenido en el plano definido por los vectores A y B, por lo que, en general:

A × (B × C) ≠ (A × B) × C

Con lo cual resulta muy importante la colocación de los paréntesis.

Demostración

demostración del doble producto vectorialSean A = (Ax, Ay, Az), B = (Bx, By, Bz) y C = (Cx, Cy, Cz) tres vectores no coplanarios; al dibujar dichos vectores de forma que el plano xy de un plano cartesiano coincida con el plano en que están B y C y el eje x coincida en dirección y sentido con C, tenemos:

A = (Ax, Ay, Az)                                  AC = Ax Cx

B = (Bx, By, 0)           →                   AB = Ax Bx + Ay By

C =(Cx, 0, 0)

Que junto con que:

doble producto vectorial

Sumando y restando AxBxCî  y agrupando términos tenemos:

A × (B × C)=(Bx î + By ĵ)AxCx – Cx î(Ax Bx + Ay By)

Por lo tanto:

A × (B × C) = B (A · C) – C (A · B)

Que es lo que queríamos demostrar.

Ejercicios

  1. Calcular el doble producto vectorial de los vectores A = (0, 1, 1), B = (0, 1, 0) y C = (2, 0, 1).

Sabemos que:

  • A = ĵ + k
  • B = ĵ
  • C = 2 î + k

De la fórmula del doble producto vectorial tenemos:

A × (B × C) = B (A · C) – C (A · B)

Por lo tanto:

A · C = AxCx + AyCy + AzCz = (0)(2) + (1)(0) + (1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1

De aquí, tenemos que

B(A · C) = ĵ (1) = ĵ

Análogamente

A · B = AxBx + AyBy + AzBz = (0)(0) + (1)(1) + (1)(0) = 0 + 1 + 0 = 1

C(A · B) = (2 î + k)(1) = 2 î + k

Por lo tanto:

A × (B × C) = ĵ – (2 î + k) = – 2 î + ĵ  – k

  1. Calcular el doble producto vectorial de los vectores A = (1, 2, 3), B = (-3, 1, 4) y C = (1, 2, 1).

Sabemos que:

  • A = î + 2 ĵ + 3 k
  • B = – 3 î + ĵ + 4 k
  • C = î + 2 ĵ +  k

De la fórmula del doble producto vectorial tenemos:

A × (B × C) = B (A · C) – C (A · B)

Por lo tanto:

A · C = AxCx + AyCy + AzCz = (1)(1) + (2)(2) + (3)(1) = 1 + 4 + 3 = 8

De aquí, tenemos que

B(A · C) = (- 3 î + ĵ + 4 k) (8) = – 24 î + 8 ĵ + 32 k

Análogamente

A · B = AxBx + AyBy + AzBz = (1)(-3) + (2)(1) + (3)(4) = -3 + 2 + 12 = 11

C(A · B) = (î + 2 ĵ +  k)(11) = 11 î + 22 ĵ + 11 k

Por lo tanto:

A × (B × C) = (- 24 î + 8 ĵ + 32 k) – (11 î + 22 ĵ + 11 k) =

= – 24 î + 8 ĵ + 32 k – 11 î – 22 ĵ – 11 k) =

= – (24 + 11) î + (8 – 22) ĵ + (32 – 11) k =

= – 35 î – 14 ĵ + 21 k