Vectores en el plano

Supongamos que un automóvil parte del reposo y después de viajar un cierto tiempo se detiene a una distancia ; con la ayuda del plano cartesiano representamos gráficamente este desplazamiento:

Observemos que el segmento de recta 0P tiene una magnitud (la longitud de dicho segmento), una dirección (la inclinación del segmento con respeto al eje x) y tiene un sentido (desde 0 hacia P). Estas tres cualidades (magnitud, dirección y sentido) definen lo que es un vector en el plano.

Definición

Un vector es un segmento de recta orientado mediante una punta de flecha dibujada en uno de sus extremos:

El punto A se le llama origen y el punto de la flecha B se llama extremo del vector; el vector anterior se anota como AB.

Todos los vectores tienen una magnitud o módulo (que corresponde a la distancia entre el origen y el extremo) así como una dirección y un sentido. Para calcular la magnitud se utiliza la siguiente formula:

|AB| = √ [ (AB_x)² + (AB_y)²]

Donde x e y son las coordenadas del vector.

Ecuación vectorial del plano

Es posible determinar la ecuación general del plano, a partir de un punto y un vector normal.

Sea P₀ = (x₀, y₀, z₀) un punto del plano; existe un único segmento de línea que es perpendicular al plano y que pasa a través P₀ . Este segmento se le denomina vector normal n y se define como un vector cuya dirección es perpendicular al plano o a cualquier vector paralelo a este último.

Ahora, sea P  = (x, y, z) otro punto en el plano, entonces el vector PP₀ = (x –x₀ , y – y₀, z – z₀)  es perpendicular al vector n y por lo tanto, el producto escalar de ambos vectores es cero, es decir:

PP_{0 ·} n = 0   »  (x – x₀ , y – y₀, z – z₀) _· n = 0     »  (r – r₀ ) _· n = 0

La ecuación:

(r – r₀ ) _· n = 0

Se conoce como la ecuación vectorial de un plano.

Ejercicios

1. Determine la ecuación del plano que pasa a través de tres puntos A = (-1, 2, 3), B = (3, 1, 4) y C = (0, 1, 0).

Debemos determinar primero el vector normal  al plano. Por ello calculamos el producto cruz entre el vector  y el vector: Sean

AB = B_x – A_x, B_y – A_y, B_z – A_z) = (3 – (-1),1 – 2 ,4 – 3)=(4, -1, 1)

BC = C_x – B_x, C_y – B_y, C_z – B_z) = (0 – 3,1 – 1 ,0 – 4)=(-3, 0, -4)

Por lo tanto:

n = AB × BC 

 

= [(-1)(-4) – (1)(0)] î + [(4)(-4) – (1)(-3)] ĵ + [(4)(0) – (-1)(-3)] k̂ =

= (4 – 0) î + [(-16 – (-3)] ĵ + (0 – 3) k̂ =

= 4 î – 13 ĵ – 3 k̂

La ecuación del plano será:

(r – A ) _· n = 0

{ [x – (-1)] î + (y – 2) ĵ + (z – 3) k̂ } · (4 î – 13 ĵ – 3 k̂) = 0

(x +1) î + (y – 2) ĵ + (z – 3) k̂ } · (4 î – 13 ĵ – 3 k̂) = 0

4(x +1) – 13(y – 2) – 3(z – 3) = 0

4x + 4 – 13y – 26 – 3z – 9 = 0

4x – 13y – 3z – 31 = 0

2. Determine la ecuación del plano que pasa a través de tres puntos A = (0, 0, 0), B = (-1, -3, -2) y C = (2, 1, 3).

Debemos determinar primero el vector normal n al plano. Por ello calculamos el producto cruz entre el vector AB y el vector BC: Sean

AB = B_x – A_x, B_y – A_y, B_z – A_z) = (-1, -3, -2)

BC = C_x – B_x, C_y – B_y, C_z – B_z) = (3, 4, 5)

Por lo tanto:

n = AB × BC 

= [(-3)(5) – (-2)(4)] î + [(-1)(5) – (-2)(3)] ĵ + [(-1)(4) – (-3)(3)] k̂ =

= (-15 + 8) î + (-5 + 6) ĵ + (-4 + 9) k̂ =

= -7 î + ĵ + 5 k̂

La ecuación del plano será:

(r – A ) _· n = 0

(x – 0) î + (y – 0) ĵ + (z – 0) k̂ } · (-7 î + ĵ + 5 k̂) = 0

– 7x + y + 5z = 0