Vector tangente

vector tangenteEn matemáticas, un vector tangente es uno que es paralelo (o tangente) a una curva o una superficie en un punto dado. En la geometría diferencial de curvas, se definen en términos de curvas en Rn o en forma más general, en geometría diferencial de variables, como miembro del espacio tangente. La dirección de este vector es  la misma que la pendiente de la línea tangente.

Definición

Sea r(t) = x î + y ĵ + z k̂ una curva diferenciable, el vector tangente de ésta se define como:

T(t) = r‘(t) / |r‘(t)|

Donde r‘(t) ≠ 0. Por lo tanto, para encontrar el vector tangente T(t)  de una curva descrita por r(t), debemos:

  1. Determinar la derivada r‘(t).
  2. Calcular la magnitud del vector anterior.
  3. Dividir el vector que encontramos en el paso 2 entre la magnitud del paso 3.

La dirección del vector tangente es la misma que la pendiente de la línea tangente.

Ejemplos

  1. Hallar el vector tangente a la curva dada por:

r(t) = 3cos(t) î + 3sin(t) ĵ

Sabemos que el vector tangente viene dado por:

T(t) = r‘(t) / |r‘(t)|

Por lo tanto:

r‘(t) = – 3sin(t) î + 3cos(t) ĵ

Y

|r‘(t)| = √[ 9sin2(t) + 9cos2(t)] = √9 = 3

Entonces:

T(t) = [- 3sin(t) î + 3cos(t) ĵ ] / 3 = – sin(t) î + cos(t) ĵ

  1. Hallar el vector tangente a la curva dada por:

r(t) = t î + 1/9 t3 ĵ

Sabemos que el vector tangente viene dado por:

T(t) = r‘(t) / |r‘(t)|

Por lo tanto:

r‘(t) = î + 1/3 t2 ĵ

Y

|r‘(t)| = √[ (1)2 + (1/3 t2)2] = √ (1 + 1/9 t4)

Entonces:

T(t) = (î + 1/3 t2 ĵ) / √ (1 + 1/9 t4)

Cuando t = 3

T(t) = (î + 1/3 (3)2 ĵ) / √ (1 + 1/9 (3)4)  = (î + 9/3 ĵ) / √ (1 + 81) =   1/√10 î + 3/√10 ĵ

Vector tangente y vector normal

Se define como vector normal n a uno cuya dirección es perpendicular a una curva, superficie o a cualquier vector paralelo (o tangente) a esta última. Por lo tanto, en un punto P dado, n(t) y T(t) son octogonales.

vector tangente