Fracciones polinómicas

Una polinomio es una combinación de un conjunto finito de variables, constantes (números fijos llamados coeficientes) y operaciones aritméticas de  suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. En una fracción polinómica, el numerador y el denominador son polinomios. Ésta tiene las mismas propiedades de una fracción numérica.

Definición

Una fracción polinómica es una fracción cuyo numerador y denominador son polinomios:

P(x) / Q(x) = Polinomio / Polinomio; con Q(x)≠0

Por ejemplo:

(x² – y²) / (x²+ 2xy + y²)

Es una fracción polinómica.

Simplificación

Para simplificar o reducir una fracción polinómica debemos convertirla en una fracción equivalente cuyos términos sean primos entre sí. Cuando esto ocurre, la fracción es irreducible y entonces está en su más simple expresión o a su mínima expresión.

¿Cómo simplificar una fracción polinómica?

Descomponemos en factores los polinomios todo lo posible y suprimimos los factores comunes al numerador y denominador.

Ejemplo: Simplificar la siguiente fracción: 3ab / (2a²x + 2a³)

• Factorizamos el denominador:

3ab / (2a²x + 2a³) = 3ab / [2a² (x + a)]

• Dividimos el numerador y denominador entre a:

(3ab ÷ a) / [2a²(x + a) ÷ a] = 3b / [2a(x + a²)]

Por lo tanto:

3ab / (2a²x + 2a³) = 3b / [2a(x+a²)]

Como 3b y 2a(x + a²) no tienen ningún factor en común, esta fracción es irreducible.

Suma y resta

Si las fracciones tienen igual denominador

1. Simplificamos las fracciones dadas si es posible.
2. Sumamos o restamos los numeradores de las fracciones y se mantiene el denominador común.
3. Simplificamos la fracción que resulte, si es posible.

Ejemplo: Sumar las siguientes fracciones: (x² + 2) / (x² – 1);  x² / (x² – 1)

Ambas fracciones tienen igual denominador, por lo tanto, sumamos los numeradores y mantenemos el denominador común:

[(x² + 2) / (x² – 1)] + [x² / (x² – 1)] = (x² + 2 + x²) / (x² – 1) =

= 2(x² + 1) / (x² – 1)

Si las fracciones tienen distinto denominador

1. Simplificamos las fracciones dadas si es posible.
2. Reducimos las fracciones dadas al mínimo común denominador.
3. Sumamos o restamos los numeradores de las fracciones que resulten y se mantiene el denominador obtenido en el paso 2.
4. Simplificamos la fracción que resulte, si es posible.

Ejemplo: restar las siguientes fracciones: [x(x + 2)] / (x² – 1); x / (x – 1)

Ambas fracciones tienen distinto denominador, debemos reducirlas al mínimo común denominador. Para ello, hallamos el mcm de los denominadores: mcm =x² – 1. Dividimos el mcm entre los denominadores de las fracciones:

(x² – 1) ÷ (x² – 1) = 1    y     (x² – 1) ÷ (x – 1) = x + 1

 Los cocientes obtenidos los multiplicamos por los numeradores respectivos, es decir:

{[x(x + 2)] / (x² – 1)} – [x / (x – 1)] = {[x(x + 2)] / (x² – 1)} – {[x(x – 1)] / (x² – 1)} =

= [(x² + 2x) / (x² – 1)] – [(x² – x) / (x² – 1)] =

Restamos los numeradores

= (x² + 2x – x² + x) / (x² – 1) =

= (x² + x) / (x² – 1) =

= [x(x + 1)] / (x² – 1)

Como  x² – 1 = (x + 1)(x – 1), tenemos

= [x(x + 1)] / [(x + 1)(x – 1)] =

= x / (x – 1)

Multiplicación y división

Reglas para multiplicar fracciones polinómicas

1. Descomponemos en factores (todo lo posible) los términos de las fracciones que deseamos multiplicar.
2. Simplificamos, suprimiendo los factores comunes en los numeradores y denominadores.
3. Multiplicamos entre sí los numeradores y el resultado se escribe como numerador de la fracción resultante.
4. Multiplicamos entre sí los denominadores y el resultado se escribe como denominador de la fracción resultante.
5. Simplificamos la fracción resultante, si es posible.

Ejemplo: multiplicar las siguientes fracciones: (5x² – 5) / (25x + 25); 16x / (4x² – 4)

Como x² – 1 = (x + 1)(x – 1)

[(5x² – 5) / (25x + 25)] × [16x / (4x² – 4)] = {[5(x – 1)(x + 1)] / [5²(x + 1)]} × {(4²x) / [4(x – 1)(x + 1)] =

= [(x – 1) / 5] × {4x / [(x – 1)(x + 1)]} =

= [4x(x – 1)] / [5(x – 1)(x + 1)] =

Simplificamos la fracción:

= 4x / [5(x + 1)]

Reglas para dividir fracciones polinómicas

1. Descomponemos en factores (todo lo posible) los términos de las fracciones que deseamos dividir.
2. Simplificamos, suprimiendo los factores comunes en los numeradores y denominadores.
3. Multiplicamos la primera fracción por la recíproca de la segunda.
4. Simplificamos la fracción resultante, si es posible.

Ejemplo: dividir las siguientes fracciones: (x³ – x) / (2x² + 6x); (5x² – 5x) / (2x + 6).

[(x³ – x) / (2x² + 6x)] ÷ [(5x² – 5x) / (2x + 6)] = [(x³ – x) / (2x² + 6x)] ÷ [(2x + 6) / (5x² – 5x) (2x + 6)] =

= [x(x² – 1) / 2x(x + 3)] × [2(x + 3) / 5x(x – 1)] =

= [2(x² – 1)(x + 3)] / [10(x + 3)(x – 1)] =

Como x² – 1 = (x + 1)(x – 1)

= [2(x + 1)(x – 1)(x + 3)] / [10(x + 3)(x – 1)] =

= (x + 1) / 5