Fracciones algebraicas

Una expresión algebraica es una combinación de variables, números y signos de operaciones (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación, logaritmos). En una fracción algebraica, el numerador y el denominador son expresiones algebraicas. Ésta tiene las mismas propiedades de una fracción numérica.

Definición

Una fracción algebraica es una fracción cuyo numerador y denominador son expresiones algebraicas. Por ejemplo: 2x / (2 + √x) es una fracción cuyo numerador es un monomio y el denominador un binomio.

Simplificación

Para simplificar o reducir una fracción algebraica debemos convertirla en una fracción equivalente cuyos términos sean primos entre sí. Cuando esto ocurre, la fracción es irreducible y entonces está en su más simple expresión o a su mínima expresión.

¿Cómo simplificar una fracción algebraica?

Dividimos el numerador y el denominador por sus factores comunes hasta que sean primos entre sí.

Ejemplo: 4x / (16x²y)

Dividimos el numerador y el denominador entre 4x:

(4x ÷ 4x) / (16x²y ÷ 4x) = (1∙1) / (4∙x∙y) = 1 / 4xy

Como 1 y 4xy no tienen ningún factor en común, esta fracción es irreducible.

Suma y resta

Si las fracciones tienen igual denominador

1. Simplificamos las fracciones dadas si es posible.
2. Sumamos o restamos los numeradores de las fracciones y se mantiene el denominador común.
3. Simplificamos la fracción que resulte, si es posible.

Ejemplo: Sumar las siguientes fracciones:  (√x + 1) / 9; (2 + x) / 9

Ambas fracciones tienen igual denominador, por lo tanto, sumamos los numeradores y mantenemos el denominador común:

[(√x + 1) / 9] + [(2 + x) / 9] = (√x + x + 3) / 9

Si las fracciones tienen distinto denominador

1. Simplificamos las fracciones dadas si es posible.
2. Reducimos las fracciones dadas al mínimo común denominador.
3. Sumamos o restamos los numeradores de las fracciones que resulten y se mantiene el denominador obtenido en el paso 2.
4. Simplificamos la fracción que resulte, si es posible.

Ejemplo: restar las siguientes fracciones: (x + 12)/4; 3/(x + 1)

Ambas fracciones tienen distinto denominador, debemos reducirlas al mínimo común denominador. Para ello, hallamos el mcm de los denominadores: mcm = 4(x + 1). Dividimos el mcm entre los denominadores de las fracciones:

4(x + 1) ÷ 4 = (x+1)     y     4(x + 1) ÷ (x + 1) = 4

 Los cocientes obtenidos los multiplicamos por los numeradores respectivos, es decir:

[(x + 12)/4] – [3/(x + 1)] = [(x + 12)(x + 1)] / [4(x+1)] – [(3·4) / 4(x + 1)] =

= [(x² + 13x + 12) / 4(x + 1)] – [12 / 4(x + 1)] =

Restamos los numeradores

[(x² + 13x + 12)/4(x + 1)] – [12/4(x + 1)] = (x² + 13x) / 4(x + 1)

Multiplicación y división

Reglas para multiplicar fracciones algebraicas

1. Descomponemos en factores (todo lo posible) los términos de las fracciones que deseamos multiplicar.
2. Simplificamos, suprimiendo los factores comunes en los numeradores y denominadores.
3. Multiplicamos entre sí los numeradores y el resultado se escribe como numerador de la fracción resultante.
4. Multiplicamos entre sí los denominadores y el resultado se escribe como denominador de la fracción resultante.
5. Simplificamos la fracción resultante, si es posible.

Ejemplo: multiplicar las siguientes fracciones: 25x / (5x + 5); 16x / (4x²)

[25x / (5x + 5)] × [16x / (4x²)] = {5²x / [5(x + 1)]} × [4²x / (4x²)] = [5x / (x + 1)] × (4 / x) =

=   [(5x)(4)] / [(x + 1)(x)] = 20x / [x(x + 1)]

Simplificamos la fracción:

20x / [x(x + 1)] = 20 / (x + 1)

Reglas para dividir fracciones algebraicas

1. Descomponemos en factores (todo lo posible) los términos de las fracciones que deseamos dividir.
2. Simplificamos, suprimiendo los factores comunes en los numeradores y denominadores.
3. Multiplicamos la primera fracción por la recíproca de la segunda.
4. Simplificamos la fracción resultante, si es posible.

Ejemplo: dividir las siguientes fracciones: 7x / (√49x + 7); 3 / (√x+1)

La recíproca de la segunda fracción es:

(√x+1) / 3

Entonces:

[7x / (√49x + 7)] ÷ [3 / (√x+1)] = [7x / (√49x + 7)] × [(√x+1) / 3] =

=  [(7∙x) / (√7²x + 1)] × [ (√x + 1) / 3] = [(7∙x) / 7(√x + 1)] × [ (√x + 1) / 3] =

= [x / (√x + 1)] × [(√x + 1) / 3] =

= [x(√x + 1)] / [3(√x + 1)] =

= x / 3