Teorema del seno

La ley del seno o teorema del seno es una relación aplicable a cualquier triangulo (a diferencia del teorema de Pitágoras que necesita que sea un triángulo rectángulo), la cual relaciona las longitudes de sus lados con los senos de sus respectivos ángulos opuestos.

Definición

teorema del seno1

Al observar la figura superior podemos ver que sus vértices son A, B, C, sus lados a, b, c y sus ángulos α, β, γ. La ley del seno expresa que los cocientes de la relación de cada lado entre su ángulo opuesto, tienen que ser iguales, es decir:

(a / sin α) = (b / sin β) = (c / sin γ)

Esta relación solo puede ser aplicada en pareja, no se aplica en grupo de tres igualdades:

  • (a / sin α) = (b / sinβ)
  • (b / sinβ) = (c / sin γ)
  • (a / sin α) = (c / sin γ)

Para cualquier triángulo, usando estas relaciones y dependiendo de los datos que tengamos, podemos encontrar los valores de ángulos o lados de dicho triángulo.

Teorema de los senos

Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos AB y C son respectivamente abc, entonces:

(a / sin α) = (b / sinβ) = (c / sin γ)

Ejemplo: Si en un triángulo ABC, ∠A = 90°, ∠B = 30°; Si el lado opuesto a ∠A es 60 cm, encuentre el valor del lado opuesto a ∠B y ∠C.

De la ley de las tangentes tenemos:

(a / sin A) = (b / sin B) = (c / sin C)

Cálculo de b

Tomamos las dos primeras razones porque conocemos A, B y a:

(a / sin A) = (b / sin B)

(60 cm / sin 90°) = (b / sin 30°)

(60 cm / 1) = [b / (1/2)]

60 cm = 2b

 Despejando b:

b = (60 / 2) cm

b = 30 cm

Cálculo de c

Para calcular este lado necesitamos conocer el ángulo C; recordado que la suma de los ángulos internos de un triángulo cualquiera debe ser igual a 180°, tenemos:

A + B + C = 180°

C = 180° – A – B = 180° – 90° – 30°

C = 60°

Ahora, en la ley de los senos tomamos dos razones en donde una de ellas contenga a (c / sin C), por lo tanto:

(a / sin A) = (c / sin B)

(60 cm / sin 90°) = (c / sin 60°)

(60 cm / 1) = [b / (√3/2)]

60 cm = √3·b / 2

 Despejando b:

b = (60·2) / √3 cm

b = 69,28 cm

Demostración

Consideremos un triángulo cuyas longitudes de sus lados son a, b y c y sus ángulos opuestos α, β, γ.

teorema del seno demostración

Para poder demostrar el teorema, debemos dividir este triángulo en dos triángulos rectángulos.

teorema del seno demostración2

Veamos que la línea que los divide es “h” y “AC” es la base del triángulo ABC.

Para el triángulo de la izquierda, tenemos:

sen α = h / b

h = b sin α             (1)

Repitiendo el procedimiento en el de la derecha:

sen β = h / a

h = a sin β             (2)

Igualando la ecuación (1)  y con (2), tenemos:

b sin α = a sin B

o

(a / sin α) = (b / sin β)             (3)

Análogamente, podemos encontrar que

(a / sin α) = (c / sin γ)             (4)

De (3) y (4)

 (a / sin α) = (b / sin β) = (c / sin γ)

Que es lo que queríamos demostrar.