Teorema del coseno

En algunas ocasiones al resolver un ejercicio de trigonometría no podemos utilizar el teorema del seno, sobre todo si solo tenemos los valores del ángulo y sus dos lados adyacentes. ¿Qué podemos hacer? El teorema del coseno (o ley del coseno) es útil para estos casos.

Definición

El teorema del coseno relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos últimos:

Dado un triángulo cualquiera, siendo “A”, “B”, “C” sus ángulos y a, bc sus lados (opuestos a dichos ángulos), entonces:

c² = a² + b² – 2 ab cos C

Demostración 
teorema del coseno1

Si observamos la figura superior tenemos que A, B, C, son los ángulos y a, b, c, los lados opuestos a cada uno de ellos. Para poder demostrar el teorema, debemos dividir este triángulo en dos triángulos rectángulos.

teorema del coseno

Veamos que la línea que los divide es “h” y “u” es el lado que se forma entre c y h.

Si aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo de la izquierda, tenemos:

c² + h² + u²             (1)

Repitiendo el procedimiento en el de la derecha:

a² = h² + (b – u) ²    (2)

Despejamos h² de la ecuación (1)  y el resultado lo sustituimos en (2), tenemos:

a² = c² – u² + (b – u)·(b – u)

Recordando que (a – b)² = a² – 2ab + b²:

a² = c² – u² + b² – 2bu + u²

a² = c² + b² – 2bu             (3)

Del triángulo izquierdo tenemos que:

cos A = u / c

Despejando  y sustituyendo en la ecuación (3), obtenemos:

u = c Cos A

a² = c² + b² – 2 bc Cos A

que es lo que queríamos demostrar.

Dependiendo de los lados y ángulo que tengamos podemos repetir el procedimiento y demostrar de igual forma el teorema del coseno:

b² = a² + c² – 2 ca Cos B

C² = b² + a² – 2 ab Cos C