Teorema de la tangente

La ley de tangentes o teorema de la tangente indica la relación entre la suma y la diferencia de dos lados de un triángulo con las tangentes de la mitad de la suma y diferencia de los ángulos opuestos a dichos lados.

ley tangente  Teorema de la tangente ley tangente1 237x300Si a y b son dos lados de un triángulo y sus ángulos opuestos son A y B, de acuerdo a la ley de las tangentes se cumple que:

(a – b) / (a + b) = tg [(A – B) / 2] / tan [(A + B) / 2]

Así mismo, para los otros lados:

(c – a) / (c + a) = tg [(C – A) / 2] / tan [(C + A) / 2]

(b – c) / (b + c) = tg [(B – C) / 2] / tan [(B + C) / 2]

Comprobación

De acuerdo a la ley del seno tenemos que:

(a / sin A) = (b / sinB) = (c / sin C)

Utilizando la primera y segunda relación:

(a / sin A) = (b / sinB) = k

Entonces

a = k·sin A y b = k·sin B

a – b = k (sin A – sin B)

y

a + b = k (sin A + sin B)

Por lo tanto:

(a – b) / (a + b) = (sin A – sin B) / (sin A + sin B)

Ahora sabemos que:

sin A + sin B = 2 sin [(A + B) / 2]·cos [(A – B) / 2]

Y

sin A – sin B = 2 cos [(A + B) / 2]·sin [(A – B) / 2]

Entonces

(a – b) / (a + b) = { cos [(A + B) / 2]·sin [(A – B) / 2]} / { sin [(A + B) / 2]·cos [(A – B) / 2]} =

= tg [(A – B) / 2] / tg [(A + B) / 2]

De forma análoga (utilizando las otras relaciones de la ley del seno), se pueden comprobar las ley de las tangentes para los lados restantes.

Ejemplo: Si en un triángulo ABC, ∠A = 90°, ∠B = 30°; Si el lado opuesto a ∠A es 5 cm, encuentre el valor del lado opuesto a ∠B.

De la ley de las tangentes tenemos:

(5 – b) / (5 + b) = tg [(90 – 30) / 2] / tg [(90 + 30) / 2] =

= tg (60 / 2) / tg (120 / 2) =

= tg (30) / tg (60) =

= (√3 / 3) / (√3) =

= √3 / 3√3 =

= 1 / 3

Despejando b:

3 (5 – b) = 5 + b

15 – 3b = 5 + b

– b – 3b = 5 – 15

– 4b = – 15

b = 10 / 4 = 2,5 cm