Notación científica

Andrómeda es la galaxia más cercana a la Tierra, se encuentra a aproximadamente 24 000 000 000 000 000 000 km.  ¡Una distancia bastante grande! pero si esta te parece enorme, a ver qué te parece la distancia a GN-z11, la galaxia más lejana conocida actualmente; se estima que está a 32 billones de años luz, esto en kilómetros es aproximadamente 303 000 000 000 000 000 000 000 km. Es una cifra tan gigantesca que es difícil de leer, ¡imagina cómo será hacer un cálculo con ella! Por suerte, la notación científica simplifica esto.

Concepto de notación científica

La notación científica es un modo de representar números de forma abreviada, facilitando el manejo de las cantidades muy grandes o muy pequeñas, así como, reducir las probabilidades de error a la hora de trabajar con ellas.

Podemos representar cualquier número con notación científica, expresándolo como el producto de un número m y una potencia de 10.

\LARGE m\times 10^{n}

El número m se denomina mantisa y n el orden de magnitud.​ La mantisa, en módulo, puede ser cualquier número real (con o sin decimales) mayor o igual a 1 y menor a 10, es decir, 1 ≤ |m| < 10;  el orden de magnitud es un número entero que nos indica si la cifra es un muy grande o muy pequeña.

Veamos ejemplos de notación científica:

  • La distancia entre Andrómeda y la Tierra es de:

\large 2,4\times 10^{19}km

Notación científica - ejemplo

  • Un año luz equivale a:

\large 9,46\times 10^{12}km

  • Se estima que GN-z11 se encuentra a esta distancia de la Tierra:

\large 3,03\times 10^{23}km

  • La masa del electrón es:

\large 9,11\times 10^{-31}kg

De esta manera es mucho más fácil leer y entender estas cifras.

Reglas de la notación científica




  • El número mantisa debe ser entre 1,0 y 9,9999. Una vez que está entre este intervalo, entonces multiplicamos por base 10.
  • El orden de magnitud nos indica cuán grande o pequeño es el número: Si el exponente es negativo, entonces el valor final será un número menor que 1. Si el exponente es 0, el número conserva su valor original. Si el exponente es positivo, entonces el número será mayor que 10.

Cómo escribir un número en notación científica

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Si la parte entera del número es distinta de 0.

Supongamos que deseamos convertir 12345,67 a notación científica. Lo primero que debemos es identificar la parte entera y la parte decimal:

Notación científica - ejercicio

Ahora, seguimos los siguientes pasos:

  1. Contamos el número de dígitos de la parte entera del número.

La parte entera de nuestro número contiene 5 dígitos (12345).

  1. Desplazamos la coma hacia la izquierda hasta que nos quede un solo dígito entero. En nuestro ejemplo:

1,234567

  1. Multiplicamos por 10 elevado al número de dígitos de la parte entera menos 1.

Como eran 5 dígitos, lo multiplicaremos por 10 elevado a 4:

\large 1,234567\times 10^{4}

Esto equivale a multiplicar por 10 000.

  1. El número obtenido será la notación científica:

Por lo tanto,

\large 12345,67=1,234567\times 10^{4}

Si la parte entera del número es igual a 0.

Supongamos que deseamos convertir 0,0000123 a notación científica. Lo primero que debemos es identificar la parte entera y la parte decimal:

Notación científica - ejemplos

Ahora, seguimos los siguientes pasos:

  1. Contamos el número de ceros (0) de la parte decimal hasta llegar a un número diferente de 0.

La parte decimal es 0000123, por lo que tiene 4 dígitos cero.

  1. Desplazamos la coma hacia la derecha hasta situarla detrás del primer dígito distinto a cero.

En nuestro caso desplazamos la coma hasta detrás del uno (1), así:

1,23

  1. Multiplicamos por 10 elevado al número de ceros que contamos anteriormente más 1 más (y luego le cambiamos el signo).

Como eran 4 ceros, si le sumamos 1 más son 5 ceros, y si le cambiamos el signo será -5, por tanto, el resultado lo multiplicaremos por 10 elevado a -5:

\large 1,23\times 10^{-5}

Esto equivale a dividir por 1/100 000.

  1. El número obtenido será la notación científica:

\large 0,0000123=1,23\times 10^{-5}

Ejercicios de notación científica

  • Expresar 200 000 000 000 000 en notación científica.

La parte entera de este número contiene 15 dígitos. Así que desplazamos la coma hacia la izquierda hasta que nos quede un solo dígito entero y luego multiplicamos por 10 elevado al número de dígitos de la parte entera menos 1.

\large 200 000 000 000 000 = 2,0\times 10^{14}

  • Expresar 35 458 126,25 en notación científica.

La parte entera de este número tiene 8 dígitos. Siguiendo el procedimiento anterior:

\large 35 458 126,25 = 3,545812625\times 10^{7}

  • Expresar 0,000 000 015en notación científica.

La parte decimal de este número contiene 7 ceros antes del primer dígito distinto de cero. Así que desplazamos la coma hacia la derecha hasta detrás del primer dígito distinto de cero, que en nuestro caso será el 1, y luego multiplicamos por 10 elevado al número de dígitos de ceros que contamos anteriormente más 1 y le cambiamos el signo.

\large 0,000 000 015= 1,5\times 10^{-8}

  • Expresar 0,000 000 100 000 215en notación científica.

La parte decimal de este número contiene 6 ceros antes del primer dígito distinto de cero. Siguiendo el procedimiento anterior:

\large 0,000 000 100 000 215 =1,00000215\times 10^{-7}

Tipos de notación científica

Notación E

Generalmente en computadoras y calculadoras los exponentes sobrescritos como  no pueden ser convenientemente representados, por lo que la letra E (o e) es usualmente utilizada para expresar el “por diez elevado a la potencia de” (que se escribiría como ) y es seguido por el valor del exponente. Es decir, para cualquier número real m y n, el uso de  indicaría un valor de . Cabe destacar que el carácter e no tiene nada que ver con la constante matemática e; y aunque represente un exponente, la notación se refiere a la como notación científica y no a la notación exponencial.

Por ejemplo:

\large \begin{align*} 7,25E33 &= 7,25\times 10^{33} \\ 1,5e-5 &= 1,5\times 10^{-5} \end{align*}

Notación de ingeniería

En la notación de ingeniería el exponente n está restringido a múltiplos de 3. Por lo tanto, el valor absoluto de m está en el intervalo 1 ≤ |m| < 1000, en lugar de 1 ≤ |m| < 10.​ Los números en esta notación son fáciles de leer, ya que utilizamos los prefijos de magnitud como mega (n = 6), kilo (n = 3), mili (n = −3), micro (n = −6) o nano (n = −9).

Por ejemplo:

\large 1,23\times 10^{-6}m

Se puede leer como “uno coma veintitrés micrómetros” o escrito como 1,23 µm.​

Operaciones matemáticas con notación científica

Adición y sustracción

Para sumar o restar dos números en notación científica, los exponentes deben ser iguales. Esto significa que uno de los valores debe ser transformado para que su exponente sea igual al del otro. Por ejemplo, realizar la siguiente operación:

\large 1,2\times 10^{2}+3,4\times 10^{3}=

Transformemos el segundo término para que su exponente sea igual al del primer término:

\large 1,2\times 10^{2}+34\times 10^{2}=

Ahora realizamos la suma:

\large 1,2\times 10^{2}+34\times 10^{2}=35,2\times 10^{2}

Multiplicación

En este caso, se multiplican las mantisas y se suman los exponentes de cada valor. Ejemplo:

\large \begin{align*} \left ( 1,2\times 10^{2} \right ) \cdot \left ( 3,4\times 10^{3} \right )&=\left ( 1,2\cdot 3,4 \right )\times 10^{2+3}\\ &=4,08\times 10^{5}\end{align*}

División

Se dividen las mantisas y se restan los exponentes de cada valor. Por ejemplo:

\large \begin{align*} \left ( 1,2\times 10^{2} \right )\cdot\left ( 3,4\times 10^{3} \right ) &= \left ( 1,2\div 3,4 \right )\times 10^{\left (2-3 \right )} \\ &= 0,35\times 10^{-1} \end{align*}

Potenciación

La mantisa se eleva al exponente externo y el congruente de base diez se multiplica por el exponente externo. Así:

\large \begin{align*} \left ( 1,2\times 10^{2} \right )^{3} &= \left ( 1,2 \right )^{3}\times 10^{2\cdot 3} \\ &= 1,728\times 10^{6} \end{align*}

Radicación

Se transforma el exponente n a un múltiplo del índice. Luego, el resultado será la radicación de la mantisa multiplicada por diez elevado la relación entre el exponente y el índice de radical. Ejemplo:

\large \sqrt{3,6\times 10^{5}}=

Primero transformamos el exponente n a un múltiplo del índice:

\large \sqrt{36\times 10^{4}}=

Ahora realizamos la operación:

\large \begin{align*} \sqrt{36\times 10^{4}} &= \sqrt{36}\times 10^{\frac{4}{2}} \\ &= 6\times 10^{2} \end{align*}

Veamos otro ejemplo:

\large \sqrt{0,002\times 10^{-3}}=

Primero transformamos el exponente n a un múltiplo del índice:

\large \sqrt{2\times 10^{-6}}=

Ahora realizamos la operación:

\large \begin{align*} \sqrt{2\times 10^{-6}} &= \sqrt{2}\times 10^{-\frac{6}{2}} \\ &\cong 1,41\times 10^{-3} \end{align*}