Ecuación paramétrica del círculo

En matemática, una ecuación paramétrica permite representar una curva o una superficie en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, denominada parámetro, en lugar de utilizar una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente. Un ejemplo simple es la cinemática: supongamos un cuerpo que se mueve en un plano y, a medida que transcurre el tiempo, representa un camino como el representado en la Figura I. Las coordenadas x e y de la posición del objeto dependen del instante del tiempo t. Por lo tanto existirán funciones x e y de la variable (o parámetro) t, tales que x = x(t) e y = y(t); estas dos ecuaciones se le denominan ecuaciones paramétricas de la curva y cada valor de t determina un punto (x,y) en el plano.

Figura I.

Los puntos (x,y) de un círculo se pueden expresar a partir de una variable individual θ; estas variables individuales son denominadas parámetro. Las ecuaciones paramétricas de un círculo con radio r ≥ 0 y centro (h,k), vienen dadas por:

• x = h + rcosθ                                 0 < θ < 2π
• y = k + rsinθ

La ecuación paramétrica de un círculo centrado en el origen y con radio r:

x² + y² = r²

La ecuación paramétrica con la fórmula de una variable individual:

•  x = ± √(r² – y²)
• y = ± √(r² – x²)

Cada fórmula expresa una porción parcial del círculo:

• y = √(r² – x²)     (tope)
• y = – √(r² – x²)     (fondo)
• x = √(r² – y²)     (lado derecho)
• x = – √(r² – y²)     (izquierda)

 Ejemplos

• Determine el radio de la ecuación paramétrica del círculo para:

 x = 5sint      ;       y = 5sint

donde 0 < t < π.

La ecuación paramétrica de un círculo es x² + y² = r², donde x = x sint; y = y cost. Por lo tanto:

(5 sint)² + (5 cost)² = r²

25( sin²t + cos²t) = r²

Como sin²t + cos²t = 1, tenemos

r² = 25

r = √25 = 5

• Determine la ecuación paramétrica de un círculo con radio r = 6 y centrado en el punto (2,4).

 Sabemos que (h,k) = (2,4) y r = 6, por lo tanto, la ecuación paramétrica del círculo del enunciado es:

                x = h + rcosθ      →      x = 2 + 6cosθ

                y = k + rsinθ      →      y = 4 + 6sinθ