Composición de funciones

Si tenemos dos o más funciones que están contenidas una dentro de otra, le llamamos funciones compuestas. Su expresión general es la siguiente:

(f ∘ g)(x) = f(g(x))

El valor de la función compuesta en x es igual a la función f evaluada en g(x).

composición de funciones  Composición de funciones composicion de funciones e1460492188624

Definición

Dadas dos funciones f y g, se define la función compuesta de f con g como:

(f∘g)(x) = f(g(x))

Su dominio es el conjunto de todas las x (variable) que están en el dominio de g, tales que g(x) pertenezca al dominio de f. Es decir:

Dom (f ∘ g) = {x ∈ Dom (g)│ g(x) ∈ Dom (f)}

Ejercicio 1: Sean f(x)=2x4 – x2 y g(x) = √(x – 4). Determine a) (f ∘ g) y b) su dominio.

(f ∘ g) (x) = f(g(x))

Primero sustituimos el valor de g(x):

(f∘g)(x) = f(√(x – 4))

Ahora, para evaluar f, sustituimos x = g(x):

(f ∘ g)(x) = 2(√(x-4)4 – (√(x – 4)2

Simplificamos:

(f ∘ g)(x) = 2(x-4)2 – (x – 4)

Resolvemos el binomio:

(f ∘ g)(x) = 2(x2 – 8x + 16) – x + 4

(f ∘ g)(x) = 2x2 – 16x + 32 – x + 4

(f ∘ g)(x) = 2x2 – 17x + 32

Para determinar el dominio debemos recordar que:

Dom (f ∘ g) = {x ∈ Dom (g)│ g(x) ∈ Dom (f)}

Buscaremos primero el dominio de g(x); como la función tiene una raíz y dentro está de ella la variable, ésta no puede ser negativa:

x – 4 ≥ 0

x ≥ 4

Entonces el dominio de g serán todos los valores mayores o iguales a cuatro, es decir:

Dom (g) = [4,∞)

Para el dominio de f: como su función es un polinomio, serán todos los números reales, es decir:

Dom (f) = (-∞, ∞)

Como estamos buscando el dominio de la función compuesta, sabemos que este dominio depende directamente de g(x), por lo tanto:

Dom (f ∘ g) = [4,∞)